Геометрия. Какова градусная мера угла B, изображённого на рисунке? Запишите подробное решение

90

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Дано:

∠OAD = 33°

∠AOB = 55° (угол при вершине O в треугольнике OAB)

∠AED = 40°

Точки D, E, F лежат на отрезках OA, DB, OB соответственно. AF и DB пересекаются в точке E.

Найти:

Градусную меру угла B (∠ABO или ∠OBD).

Решение:

Рассмотрим треугольник ADE:

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Нам известны два угла: ∠DAE = 33° и ∠AED = 40°.

Найдем третий угол, ∠ADE:
∠ADE = 180° - (∠DAE + ∠AED)
∠ADE = 180° - (33° + 40°)
∠ADE = 180° - 73°
∠ADE = 107°

Рассмотрим треугольник ODB:

Угол ∠ODB в треугольнике ODB совпадает с углом ∠ADE, так как точки O, D, A лежат на одной прямой. Значит, ∠ODB = 107°.

Угол ∠DOB в треугольнике ODB совпадает с углом ∠AOB, который равен 55°.

Сумма углов в треугольнике ODB равна 180°.

Найдем искомый угол ∠OBD (это и есть угол B):
∠OBD = 180° - (∠DOB + ∠ODB)
∠OBD = 180° - (55° + 107°)
∠OBD = 180° - 162°
∠OBD = 18°

Проверка (и выявление несоответствия в условии):
Давайте попробуем найти угол B, используя другие треугольники, чтобы проверить согласованность данных.

Рассмотрим треугольник OAF:

∠OAF = 33°, ∠AOF = 55°

∠AFO = 180° - (33° + 55°) = 180° - 88° = 92°

Рассмотрим углы при точке E:

Углы ∠AED и ∠FEB являются вертикальными, значит ∠FEB = ∠AED = 40°.

Углы ∠AEB и ∠AED являются смежными, значит ∠AEB = 180° - ∠AED = 180° - 40° = 140°.

Рассмотрим треугольник EFB:

∠FEB = 40° (как вертикальный к ∠AED)

∠EFB совпадает с ∠AFO, то есть ∠EFB = 92°.

Найдем угол ∠FBE (это и есть угол B):
∠FBE = 180° - (∠FEB + ∠EFB)
∠FBE = 180° - (40° + 92°)
∠FBE = 180° - 132°
∠FBE = 48°

Вывод:
Мы получили два разных значения для угла B (18° и 48°) при использовании разных частей фигуры. Это означает, что исходные данные на рисунке противоречивы. Невозможно построить треугольник, удовлетворяющий всем указанным углам одновременно.

Однако, если следовать логике последовательного вычисления через треугольники ADE и ODB, как в первом варианте решения, то получается 18°.

Ответ:
Исходя из последовательного расчета через ΔADE и ΔODB, ∠B = 18°. Следует отметить, что данные на рисунке содержат внутреннее противоречие, так как расчет через другие треугольники (например, ΔEFB) дает иной результат (48°).

Рассмотрим треугольник AOB.
В этом треугольнике известны два угла: угол при вершине A (∠OAB) равен 33°, и угол при вершине O (∠AOB) равен 55°.
Сумма углов любого треугольника равна 180°.
Чтобы найти угол при вершине B (∠ABO), нужно из 180° вычесть сумму двух известных углов.
∠ABO = 180° - ∠OAB - ∠AOB
∠ABO = 180° - 33° - 55°
∠ABO = 180° - 88°
∠ABO = 92°
Угол B равен 92°.
Ответ: 92°

180 - (33 - 55 - 40) = 52 градуса.

Чем короче решение, тем оно и лучше.
Короткое решение такое:

1. угол BDO = (33 + 40) градусов, как внешний угол тр-ка ADE.
2. угол B = (180 - BDO - O) = 180 - (33 - 55 - 40) градусов.

Здесь мы применили один раз теорему о внешнем угле тр-ка и один раз - о сумме углов.
Но ты просила подробное решение, так что можно и подлиннее придумать. Например,

1. угол AFB как внешний угол тр-ка AOF равен 33 + 55 градусов
2. угол BEF как вертикальный к отмеченному равен 40 градусов
3. угол B (по сумме углов тр-ка BEF) равен 180 - (33 - 55 - 40) градусов.
   
   Это решение на один шаг длиннее, потому что использует теорему о вертикальных углах, ты и просила поподробнее писать - значит, три шага для тебя лучше двух.