Почему при рисовании акварелью появляются эти пятна и что с ними сделать?

Эти пятна от неоднородности состава той поверхности по которой вы рисуете, а поскольку мы не знаем по поверхности чего вы рисуете, то и добавить нечего... готовьте поверхность под акварель добросовестно.
...теперь уже скорее всего ничего не сделать.

Бумага забрызгана видно была чем-то маслянистым.

есть специальная бумага для акварели...Вы, похоже, ложили акварель на бумагу для письма или чертёжный ватман..в технологии её изготовления допустимы клеевые присадки...похоже неравномерность распределения клея по целюлозе Ваша акварель и выявила...на бумагу такого типа подойдёт гуашь.