ПООМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ПИШУ ВПР
Учитель предложил четырём ученикам несколько задач. Каждую задачу решили только трое. Известно, что все решили разное количество задач. Андрей решил больше всех — девять задач, а Женя решил меньше всех — пять задач. Сколько всего задач предложил учитель? Запиши решение и ответ
Учитель предложил четырём ученикам несколько задач.
Каждую задачу решили только трое.
Известно, что Вика решила больше всех - восемь задач, а Гриша решил меньше всех - четыре задачи. Сколько всего задач предложил учитель?
Для простоты будем считать, что решение каждой задачи дети записывали на отдельном листке.
Также будем считать, что ученики не сдавали листки с неверными решениями. Или учитель такие листки сразу отложил.
Листков с правильными решениями оказалось втрое больше, чем самих задач - ведь по условию каждую задачу решили трое.
Листков, написанных Викой и Гришей, было 8 + 4 = 12.
Теперь посмотрим, сколько задач могли решить двое других учеников.
Каждый из них, исходя из условий, мог решить 5, 6 или 7 задач - меньше, чем Вика, и больше, чем Гриша.
Значит, они могли решить
каждый по 5 задач - тогда они подали бы учителю 10 листков;
5 и 6 задач - тогда листков было бы 11;
5 и 7 задач - тогда листков было бы 12;
6 и 6 задач - тоже 12 листков;
6 и 7 задач - 13 листков
или 7 и 7 задач - 14 листков.
Других вариантов нет.
Тогда общее количество решённых задач, с учётом Викиных и Гришиных, будет равно
22, 23, 24, 25 или 26 соответственно.
Но, как уже было замечено, общее количество листков втрое больше количества задач. Значит, число листков должно делиться на 3.
Здесь только одно число делится на 3 - это 24.
То есть учитель получил 24 листка с верно решёнными задачами. Поскольку листков втрое больше, чем задач, то количество задач равно
24 : 3 = 8.
Ответ: учитель предложил детям 8 задач.
И умная Вика решила их все!
Проведем исследование (то есть поиграем)
1)
Предположим было 10 задач. Если каждая задача решена тремя учениками, то всех решенных задач было 10*3=30. Полученное число должно делиться на 3, так как произведение имеет множитель 3.А другой множитель 10 показывает число задач ( которые дал учитель)
2)
Решение: Андрей решил 9 ( больше всех), Женя -5( меньше всех), значит еще 2 ученика решили 6,7,8 так как сказано, что ученики решили разное число задач. Возможны варианты :1)9,6,7,5; 2) 9,6,8,5. и т. д. Какой выбрать? В первом исследовании мы поняли, что количество задач должно делиться на 3, поэтому 9+5=14, надо прибавить еще задачи двух других учеников, чтобы полученное число делилось на 3. Подходит пара чисел 6 и 7, так как 9+5+6+7=27, а оно делится на 3.Значит всего решенных задач было 27, а чтобы найти число задач ( данных учителем) надо 27:3=9.
Их минимум 9, предположим, что их 9, тогда Андрей решил по 1 разу все, далее, ещё 5 решил Женя, 2 остальных решили минимум по 6, тогда
1 2 3 4 5 6 7 8 9
+ + + + + + + + + Андрей 9
+ + + + + Женя 5
+ + + + + + 1-й 6
+ + + + + + + 2-й 7
Вот
Решение:
Пусть количество задач, решенных четырьмя учениками, будет а, b, с и d, где а > b > с > d. Из условия задачи известно, что а = 9 (Андрей решил больше всех) и d = 5 (Женя решил меньше всех). Так же известно, что каждый ученик решил разное количество задач.
Сумма решенных задач тремя учениками для каждой задачи равна 3 (так как каждую задачу решили только трое). Пусть N - общее количество задач. Тогда общее количество решенных задач можно посчитать двумя способами:
1. Сумма количества задач, решенных каждым учеником: а + b + с + d = 9 + b + c + 5 = 14 + b + с 2. Общее количество решенных задач также можно посчитать как 3N, так как каждая задача решена тремя учениками.
Tо есть 3N = 14 + b + с. Поскольку b и с должны быть целыми числами, и 9 > b > с > 5, то b и с могут быть только 8 и 7 (в каком-либо порядке).
Тогда 3N = 14 + 8 + 7 = 29. Но 29 не делится на 3, значит, нужно искать другие варианты. Заметим, что b и с могут быть 8 и 6, в таком случае 3N = 14 + 8 + 6 = 28. Но 28 не делится на 3, а значит, нужно искать другие варианты. Предположим b = 7 и с = 6, тогда 3N = 14 + 7 + 6 = 27, и N = 27/3 = 9.
Ответ:
Учитель предложил 9 задач.
Пусть всего предложено
n
n задач. Обозначим количество задач, решенных каждым из учеников, следующим образом:
Андрей решил
9
9 задач,
Женя решил
5
5 задач,
Два других ученика решили
a
a и
b
b задач соответственно, причем
5
<
a
<
9
5<a<9 и
5
<
b
<
9
5<b<9, и
a
≠
b
a≠b.
Так как каждую задачу решили только трое учеников, то каждая задача входит в сумму решений трех учеников. Следовательно, общее количество решений всех задач равно
3
n
3n.
Общее количество решений всех задач можно выразить как сумму решений каждого ученика:
9
+
5
+
a
+
b
=
3
n
.
9+5+a+b=3n.
Так как
a
a и
b
b — это числа между
5
5 и
9
9, и они различны, то возможные значения для
a
a и
b
b — это
6
6,
7
7 и
8
8. Но так как
a
≠
b
a≠b, то возможные пары
(
a
,
b
)
(a,b) — это
(
6
,
7
)
(6,7),
(
6
,
8
)
(6,8) и
(
7
,
8
)
(7,8).
Рассмотрим каждую пару:
Если
a
=
6
a=6 и
b
=
7
b=7, то:
9
+
5
+
6
+
7
=
27
=
3
n
⇒
n
=
9.
9+5+6+7=27=3n⇒n=9.
Если
a
=
6
a=6 и
b
=
8
b=8, то:
9
+
5
+
6
+
8
=
28
=
3
n
⇒
n
=
28
3
,
9+5+6+8=28=3n⇒n=
3
28
,
что не является целым числом, поэтому это решение не подходит. 3. Если
a
=
7
a=7 и
b
=
8
b=8, то:
9
+
5
+
7
+
8
=
29
=
3
n
⇒
n
=
29
3
,
9+5+7+8=29=3n⇒n=
3
29
,
что также не является целым числом, поэтому это решение не подходит.
Таким образом, единственное целое значение для
n
n — это
9
9.