Что такое область значения, и как её находить? Напишите подробно и с примером пожалуйста ?

**Область значения** функции — это множество всех возможных значений, которые принимает функция при всех допустимых (из области определения) значениях аргумента.

**Как находить область значения:**

1. **Записать область определения функции** — все значения x, при которых выражение имеет смысл.
2. **Взять выражение функции** y = f(x) и выразить x через y (если возможно), либо проанализировать уравнение/неравенство, чтобы понять, какие значения y возможны.
3. **Проверить границы и исключения** — учесть ограничения по знаменателям, корням, логарифмам и т.д.
4. **Записать область значений**: все y, которые получаются при допустимых x.

**Пример 1:**
y = x^2

- Область определения: x — любое действительное число.
- Рассмотрим y = x^2. Квадрат любого числа неотрицателен.
- Значит, y ≥ 0.
- **Ответ**: область значений — [0; +∞)

**Пример 2:**
y = 1 / (x - 2)

- Область определения: x ≠ 2.
- Выражение y = 1 / (x - 2) может принимать любые значения, кроме y = 0 (невозможно при любом x).
- **Ответ**: область значений — все действительные числа, кроме 0 (y ≠ 0).

**Пример 3:**
y = sqrt(x + 5)

- Подкоренное выражение должно быть неотрицательно: x + 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ -5
- Значит, y принимает все значения от 0 до +∞ (так как sqrt дает неотрицательные значения).
- **Ответ**: область значений — [0; +∞)

**Пример 4:**
y = sin(x)

- Область определения: x — любое действительное число.
- Значения синуса лежат в промежутке от -1 до 1.
- **Ответ**: область значений — [-1; 1]

**Вывод:**
Область значений — это все y, которые реально может принимать функция при всех допустимых x. Находится через анализ выражения функции, ограничения и преобразования.