Помогите решить задачу впр 10 класс!!
Дана треугольная пирамида SABC с вершиной S, в основании которой лежит правильный треугольник ABC. Отрезки AM, BN и CP являются медианами, точка O – точка пересечения медиан. Отрезок SA перпендикулярен плоскости основания.
Выберите из предложенного списка пары перпендикулярных прямых.
1) прямые SA и ВN
2) прямые AN и NP
3) прямые SN и AC
4) прямые OM и NP
5) прямые SM и NP
1,4,5 вроде
Давайте проанализируем каждую пару прямых:
Прямые SA и BN:
По условию, SA перпендикулярна плоскости основания ABC (SA ⊥ пл. ABC).
Прямая BN лежит в плоскости основания ABC.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Следовательно, SA ⊥ BN. Эта пара перпендикулярна.
Прямые AN и NP:
Точка N - середина AC. Прямая AN - это прямая, содержащая сторону AC.
Точки N и P - середины сторон AC и AB соответственно. NP - средняя линия треугольника ABC.
По свойству средней линии, NP || BC.
В правильном треугольнике ABC угол между сторонами AC и BC равен 60°.
Следовательно, угол между прямой AC (на которой лежит AN) и прямой NP (параллельной BC) равен 60°.
Прямые AN и NP не перпендикулярны.
Прямые SN и AC:
N - середина AC.
Рассмотрим треугольник SAC. SA ⊥ пл. ABC, значит SA ⊥ AC. Треугольник SAC - прямоугольный с прямым углом SAC.
SN - отрезок, соединяющий вершину S с серединой гипотенузы AC (если бы SC была гипотенузой) или с серединой катета AC (в данном случае). SN - наклонная к плоскости ABC, AN - ее проекция на плоскость ABC.
По теореме о трех перпендикулярах: наклонная SN перпендикулярна прямой AC, лежащей в плоскости, тогда и только тогда, когда ее проекция AN перпендикулярна этой прямой AC.
Прямая AN (часть прямой AC) не перпендикулярна прямой AC.
Следовательно, SN не перпендикулярна AC.
Прямые OM и NP:
AM - медиана правильного треугольника ABC, проведенная к стороне BC. В правильном треугольнике медиана является и высотой, т.е. AM ⊥ BC.
Точка O лежит на медиане AM, значит прямая OM совпадает с прямой AM.
NP - средняя линия треугольника ABC, NP || BC.
Если AM ⊥ BC и NP || BC, то AM ⊥ NP.
Следовательно, OM ⊥ NP. Эта пара перпендикулярна.
Прямые SM и NP:
M - середина BC. SM - наклонная к плоскости ABC. AM - ее проекция на плоскость ABC.
NP - средняя линия, NP || BC.
Нужно проверить перпендикулярность SM и NP, что эквивалентно проверке перпендикулярности SM и BC (т.к. NP || BC).
По теореме о трех перпендикулярах: наклонная SM перпендикулярна прямой BC, лежащей в плоскости, тогда и только тогда, когда ее проекция AM перпендикулярна этой прямой BC.
Как мы установили в п.4, AM ⊥ BC (медиана в правильном треугольнике является высотой).
Следовательно, SM ⊥ BC.
А так как NP || BC, то SM ⊥ NP. Эта пара перпендикулярна.
Итог: Перпендикулярными являются пары прямых под номерами 1, 4 и 5.
Ответ: 1, 4, 5
sa перпендикулярен плоскости значит sa перпендикулярен bn потому правильный ответ 1
у чата гпт спроси, прислать?
1) да
потому что по условию вся плоскость треугольника перпендикулярна, и на рисунке это тоже показано
2) нет
потому что угол не может быть одинаковым с медианой, а медиана в правильном треугольнике треугольнике ещё и высота
3) нет
потому что не может быть одновременно и SA, и SN перпендикулярным к этой плоскости, а SA уже в первом есть
4) да
NP и CB это основание и средняя линия, они параллельны. OM кусок медианы, она же высота, т.е. раз к CB перпендикулярно, то и к NP тоже.
5) нет
потому же, почему и 3
итого: 1,4