Дз по геометрии

Задача 1:
Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна 16π см² . Найдите площадь поверхности цилиндра.

Площадь основания (S_осн): S_осн = πR² = 16π. Отсюда находишь радиус R.

Осевое сечение – квадрат: Это значит, что высота цилиндра H равна диаметру основания 2R.

Площадь боковой поверхности (S_бок): S_бок = 2πRH. Подставляешь найденные R и H.

Площадь полной поверхности (S_полн): S_полн = S_бок + 2 * S_осн.

Задача 2:
Высота конуса равна 16 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите:
а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 30°;
б) площадь боковой поверхности конуса.

а) Площадь сечения:

Осевое сечение: Равнобедренный треугольник с углом при вершине 120°. Половина этого угла (в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей) – 60°.

Зная высоту H = 16 и угол 60°, находишь образующую L (гипотенуза) и радиус основания R (катет напротив угла 60°). (R = H * tg(60°), L = H / cos(60°), или через синусы). Стоп, ошибка в моей быстрой прикидке. Угол при ВЕРШИНЕ осевого сечения 120°, значит угол между образующей и ВЫСОТОЙ будет 120°/2 = 60°. Тогда угол между образующей и ОСНОВАНИЕМ будет 90°-60°=30°. Радиус R = H / tg(30°), образующая L = H / sin(30°). Проверяй внимательно!

Сечение через две образующие: Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами L и углом между ними 30°.

Площадь этого треугольника (S_сеч): S_сеч = (1/2) * L * L * sin(30°).

б) Площадь боковой поверхности (S_бок):

S_бок = πRL. Используешь найденные R и L.

Задача 3:
Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 9√2. Найдите диагональ куба и площадь его поверхности.

Сечение: Сечение, проходящее через два противолежащих ребра куба – это прямоугольник. Одна его сторона – это ребро куба a. Другая сторона – это диагональ грани куба, равная a√2.

Площадь сечения (S_сеч): S_сеч = a * (a√2) = a²√2 = 9√2. Отсюда находишь a² и затем a (длину ребра куба).

Диагональ куба (D): D = a√3.

Площадь поверхности куба (S_пов): S_пов = 6a².

Задача 4:
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 18√3. Найдите площадь поверхности пирамиды, если её боковая грань составляет с плоскостью основания угол 60°.

Основание: Квадрат со стороной a = 18√3.

Площадь основания (S_осн): S_осн = a².

Угол между боковой гранью и основанием: Это угол между апофемой боковой грани (h_бок или l_a) и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны основания (этот отрезок равен a/2).

Рассматриваешь прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды H, отрезком a/2 и апофемой h_бок. Угол между h_бок и a/2 равен 60°.

Находишь апофему: cos(60°) = (a/2) / h_бок, отсюда h_бок = (a/2) / cos(60°).

Площадь одной боковой грани (S_грани): S_грани = (1/2) * a * h_бок.

Площадь боковой поверхности (S_бок): S_бок = 4 * S_грани (так как пирамида правильная четырехугольная).

Площадь полной поверхности (S_полн): S_полн = S_осн + S_бок.

1. 96π
2. а) 256; б) 512√3·π
3. Диагональ: 3√3, площадь поверхности: 54
4. 972 + 972√3