ACCESS DENIED. ДОСТУП ЗАКРЫТ.

Ответ от RawMind AI <think> Хорошо, мне нужно решить уравнение x² + 1 ≡ 0 mod 5⁶. Начну с того, что понимаю, что это уравнение в модуле 5^6, то есть ищем целые числа x такие, что при их возведении в квадрат и добавлении 1 результат делится на 5⁶. Сначала попробую решить его для более простого случая mod 5, а затем постепенно поднимусь до mod 5^6 с помощью метода Хензеля (Hensel's lemma). Это стандартный подход для решения уравнений в модуле степени простого числа. Начну с mod 5. Уравнение x² ≡ -1 mod 5. Поскольку -1 mod 5 равно 4, ищу x такие, что x² ≡ 4 mod 5. Проверяю возможные значения x от 0 до 4: - 0² = 0 → не подходит - 1² = 1 → нет - 2² = 4 → да! - 3² = 9 ≡ 4 mod 5 (так как 9-5=4) → тоже подходит - 4² = 16 ≡ 1 mod 5 → нет Таким образом, решения mod 5: x ≡ ±2 mod 5. То есть x ≡ 2 или 3 mod 5. Теперь нужно поднять эти решения до mod 5^2=25. Возьмем сначала x₀ = 2 mod 5. Предположим, что решение mod 25 имеет вид x = x₀ + 5k, где k — целое число. Подставляем в уравнение: (x)² +1 ≡ (x₀ +5k)^2 +1 ≡ x₀² + 10x₀ k + 25k² +1 mod 25. Так как 25k² ≡ 0 mod 25, это упрощается до: (x₀² +1) + 10x₀ k mod 25. Мы знаем, что x₀² +1 ≡ 0 mod 5 (так как x₀ решение mod 5), но нужно получить ≡0 mod25. Значит, 10x₀k ≡ - (x₀² +1) mod 25. Но x₀² +1 = (2)^2 +1=5, так что: 10*2*k ≡ -5 mod25 → 20k ≡ -5 mod25. Упрощаем: делим обе части на 5: 4k ≡ -1 mod5 → 4k ≡4 mod5 (так как -1 mod5=4). Тогда k≡1 mod5, так как 4*1=4 mod5. Значит k =1 +5m. Подставляем обратно x =2+5*(1+5m)=2+5+25m=7+25m → x ≡7 mod25. Проверяю: 7²+1=49+1=50≡0 mod25? Да, так как 50 делится на 25. Теперь для второго решения mod5: x₀=3 mod5. Повторяем аналогично: x =3 +5k. (x)^2 +1 = (3+5k)^2 +1 =9 +30k +25k² +1 ≡(10) +30k mod25. Так как 25k²≡0, и 30k mod25=5k. Итого: 10 +5k*6? Подожду, возможно я ошибся в расчетах: Посчитаю заново: (3+5k)^2 =9 + 30k +25k² → при сложении с 1 получается 10 +30k +25k². Модулю 25: 10 + (30 mod25)*k =10 +5k. Итак, выражение должно быть ≡0 mod25: 10 +5k ≡0 mod25 → 5k≡-10 mod25 → делю на 5: k≡-2 mod5 → k=3 mod5 (поскольку -2 mod5=3). Тогда k=3+5m, и x=3 +5*(3+5m)=3+15+25m=18+25m. Значит x≡18 mod25. Проверка: 18²+1=324+1=325 ≡0 mod25 (325/25=13). Теперь нужно поднять решения до mod5^3=125. Возьмем первое решение x≡7 mod25. Предположим, что x =7 +25k. Подставляем в уравнение: (7+25k)^2 +1 ≡ 49 + 350k +625k² +1 mod125. Так как 625k²=5^4 k²≡0 mod125 (поскольку 5^4 делится на 5^3*5), остается: (49+1) +350k mod125. 49+1=50, и 350k mod125: 350/125=2*125=250 → 350-250=100 → 350≡100 mod125. Итого: 50 +100k ≡0 mod125. Тогда: 100k ≡ -50 mod125 → делим на 25: 4k ≡-2 mod5 (поскольку 100/25=4, -50/25=-2). 4k≡3 mod5 (так как -2 mod5=3). Решаем для k: 4k ≡3 mod5 → умножить обе части на обратный элемент 4 mod5. Обратный элемент 4 mod5 — это 4, так как 4*4=16≡1 mod5. Тогда k≡3*4=12≡2 mod5 → k=2+5m. Подставляем: x=7 +25*(2+5m)=7+50+125m=57+125m. Значит, x≡57 mod125. Проверка: 57² =3249 → 3249+1=3250. 3250/125=26 → делится нацело. Теперь второе решение mod25: x≡18 mod25. Пусть x=18 +25k. (x)^2 +1 = (18+25k)^2 +1 = 324 +900k +625k² +1 ≡ (325) +900k mod125. 325 mod125=325-2*125=75. 900 mod125: 125*7=875 → 900-875=25 → 900≡25 mod125. Итого: 75 +25k ≡0 mod125 → 25k ≡ -75 mod125 → делим на25: k≡-3 mod5 → k=2 mod5 (поскольку -3 mod5=2). Тогда k=2+5m, и x=18 +25*(2+5m)=18+50+125m=68+125m. Значит x≡68 mod125. Проверка: 68² =4624 → 4624+1=4625. 4625/125=37, так что да, делится на 125. Теперь поднимаем до mod5^4=625. Возьмем первое решение x≡57 mod125. Пусть x=57 +125k. Подставляем в уравнение: (57+125k)^2 +1 = 3249 + (2*57*125)k + (125^2)k² +1 mod625. Вычислим каждый член: - 57²=3249 → 3249+1=3250.