Есть ли такой спорт, при котором дерутся на мечах? И, если есть, как он называется?

это не спорт а игра и названий у нее множества

наверное гладиаторские бои

фектование

Если конкретно на мечах - это японское КЕНДО - фехтование на деревянных мечах.

Кендо конечно-как то был на соревнованиях-они там бамбуковыми мечами дрались

Кендо или фектование

Кендо, и в йайдо есть так же вариации контактных боёв с использованием тренировочного меча (боккэн).