Сущестует ли Акафист или Канон Давиду (псалмопевцу) ?

Отдельно канона или акафиста Давиду не встречала. Память его совершается в неделю по Рождестве Христовом вместе с обручником Иосифом и Иаковом, братом Господним. (в службе этого дня содержится канон общий для этих святых, т. е. там перемежаются тропари Давиду, Иосифу и Иакову, см. Минеи после службы 26 декабря)

Тропарь этого дня такой:
Благовествуй, Иосифе, Давиду чудеса богоотцу. Деву видел еси рождшую, с пастырьми славословил еси, с волхвы поклонился еси, с ангелом весть приемь. Моли Христа Бога спасти души наша.

В богослужении упоминание его -- очень частое, практически на каждой службе (вспомним хотя бы пасхальное: "Богоотец убо Давид пред сенным ковчегом.. . ) Почитается память его и тем, что за богослужением целиком прочитывается вся псалтирь еженедельно (а в некоторых монастырях и неусыпающей псалтирью) .

Тропарь, глас 2
Пророка твоего Давида память, Господи, празднующе, тем Тя молим: спаси души наша.

Кондак, глас 4
Просветившееся Духом чистое сердце пророчества бысть светлейшаго приятелище: зриши бо яко настоящая далече сущая: сего ради тя почитаем, пророче Давиде, славне.

Молитвы царю Давиду:
Помяни, Господи, царя Давида и век кротость его, и святыми того молитвами помилуй нас, грешных. Аминь.

О святый угодниче Божий, царю и пророче Давиде! Подвигом добрым подвизався на земли, восприял еси на Небесех венец правды, егоже уготовал есть Господь всем любящим Его. Темже взирающе на святый твой образ, радуемся о преславнем скончании жительства твоего и чтем святую память твою. Ты же, предстоя Престолу Божию, приими моления наша и ко Всемилостивому Богу принеси, о еже простити нам всякое прегрешение и помощи нам стати противу кознем диавольским, да избавльшеся от скорбей, болезней, бед и напастей и всякаго зла, благочестно и праведно поживем в нынешнем веце и сподобимся предстательством твоим, аще и недостойни есмы, видети благая на земли живых, славяще Единаго во святых Своих славимаго Бога, Отца и Сына и Святаго Духа, ныне и во веки веков. Аминь.