как решить: х^2+2хsin(xy)+1=0 ?

x = 0 не является корнем x² + 2x sin(xy) + 1 = 0 (при подстановке получается 1 = 0). Разделим на x.

x + ¹⁄ₓ = −2 sin (xy).

Применим известное неравенство |x + ¹⁄ₓ| ≥ 2:

|2 sin (xy)| = |x + ¹⁄ₓ| ≥ 2.

С другой стороны, так как |sin t| ≤ 1 при любом t, получаем

|2 sin (xy)| ≤ 2.

Поэтому sin(xy) = ±1, x + ¹⁄ₓ = ∓2 (знаки согласованы) , то есть x = ∓1.

Имеем две системы:

1)
{ x = 1,
{ sin(xy) = sin y = −1

{ x = 1,
{ y = ³⁄₂π + 2πk (k ∈ ℤ).

2)
{ x = −1,
{ sin(xy) = −sin y = 1,

{ x = −1,
{ y = ³⁄₂π + 2πk (k ∈ ℤ).

Ответ: x = ±1, y = ³⁄₂π + 2πk (k ∈ ℤ).