Какой частью речи является слово "чтобы"?

ЧТОБЫ (ЧТОБ) – это прежде всего ПОДЧИНИТЕЛЬНЫЙ СОЮЗ. Союзные слова – это относительные местоимения и относительные наречия, которые в сложноподчинённых предложениях (СПП) выполняют сразу две роли:
● являются членами предложения, то есть выполняют обычную роль самостоятельных слов;
● присоединяют придаточное предложение к главному, то есть одновременно выполняют функцию подчинительного союза.

Из вышеизложенного ясно, что СОЮЗ НЕЛЬЗЯ НАЗВАТЬ СОЮЗНЫМ СЛОВОМ.

Союз ЧТОБЫ, как уже сказано, подчинительный. Он может быть:
● целевым (присоединяет к главному предложению обстоятельственное придаточное цели) – Надо учить русский язык, ЧТОБЫ быть грамотным (зачем, с какой целью надо учить русский язык?);
● изъяснительным (присоединяет к главному предложению придаточное изъяснительное) – Я хочу, ЧТОБЫ все были грамотными (чего я хочу?).

ЧАСТИЦЕЙ слово ЧТОБЫ (ЧТОБ) тоже может быть, если выражает требование, приказ, решительное пожелание:
● ЧТОБЫ я никогда его не видела в нашем доме!
● ЧТОБЫ ты никогда при мне этих слов не произносил!

Есть омонимичное сочетание местоимения ЧТО и частицы БЫ (Б), которая пишется с этим местоимением раздельно, так что при грамотной записи союз ЧТОБЫ (ЧТОБ) и частицу ЧТОБЫ (ЧТОБ) никак не перепутать с омонимичным им сочетанием местоимения с частицей, такое сочетание есть, например, в предложениях:
● ЧТО БЫ он ни рассказывал, все слушали его внимательно.
● ЗА ЧТО БЫ она ни взялась, всё у неё получалось.

В этих СПП как раз и употреблено относительное местоимение ЧТО, то есть одно из тех самостоятельных слов (относительных местоимений и наречий), которые называются ещё союзными словами.
.