Докажите что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делиться на 9! пожалуйста или посдкажите учебник
Метод мат индукции
Поскольку 1^3 + 2^3 + 3^3 = 36 делится на 9, то для n = 1 утверждение верно.
Предположим, что оно верно для n = k, то есть k^3 + (k + 1)^3 + (k + 2)^3 = 9m для некоторого натурального числа m. Нам нужно доказать для n = k + 1.
Но действительно,
(k + 1)^3 + (k + 2)^3 + (k + 3)^3 = (k + 1)^3 + (k + 2)^3 + k^3 + 27k + 9k2 + 27 =
= 9m + 27k + 9k2 + 27 = 9(m + 3k + k2 + 3)
делится на 9, и мы заключаем, что утверждение верно для любого n.
Три числа (а-1), а, (а+1). Возводим в куб
(a-1)^3 = a^3 - 3a^2 + 3a -1
a^3
(a+1)^3 = a^3 + 3a^2 + 3a +1
Складываем и получаем
3a^3 + 6a = 3a * (a^2 + 2)
Первый сомножитель делится на 3. Остается доказать, что a * (a^2 + 2) тоже делится на 3. Если а кратно 3, то всё понятно. Остаются два варианта, когда а не кратно 3
1. а = 3х + 1
2. а = 3х - 1
Подставляе эти значения в скобку
1. (3х + 1)^2 + 1 = 9x^2 + 6x + 1 + 2 = 9x^2 + 6x + 3
2. (3х - 1)^2 + 1 = 9x^2 - 6x + 1 + 2 = 9x^2 - 6x + 3
Как видно, значение в скобках при а некратном 3 будет делиться на 3. Значит сумма кубов трех последовательных чисел делится на 9
Три последовательные нат. числа изобразим в виде n-1, n, n+1. Возведя каждое в куб и сложив, получим S=3n(n^ + 2). Каждое целое при делении на 3 даёт в остатке 0, либо 1, либо 2.
1. n=3k - очевидно S делится,
2. n=3k+1: (n^2 +2) = 9k^2 + 6k + 3 = 3(...) - S делится,
3. n=3k+2: (n^2 +2) = 9k^2 + 12л + 6 = 3(...) - S делится.
Это фсё.
Три числа (а-1), а, (а+1). Возводим в куб
(a-1)^3 = a^3 - 3a^2 + 3a -1
a^3
(a+1)^3 = a^3 + 3a^2 + 3a +1
Складываем и получаем
3a^3 + 6a = 3a * (a^2 + 2)
Первый сомножитель делится на 3. Остается доказать, что a * (a^2 + 2) тоже делится на 3. Если а кратно 3, то всё понятно. Остаются два варианта, когда а не кратно 3
1. а = 3х + 1
2. а = 3х - 1
Подставляе эти значения в скобку
1. (3х + 1)^2 + 1 = 9x^2 + 6x + 1 + 2 = 9x^2 + 6x + 3
2. (3х - 1)^2 + 1 = 9x^2 - 6x + 1 + 2 = 9x^2 - 6x + 3
Как видно, значение в скобках при а некратном 3 будет делиться на 3. Значит сумма кубов трех последовательных чисел делится на 9