Чабров Д.А.
Профи
(851)
16 лет назад
Занимаясь поисками прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами, удовлетворяющих , если перейти на привычные нам обозначения, уравнению х2 + у2 = z2, Пифагор, исходя из геометрических соображений, нашел формулы, которые являются решением этого уравненния:
х = 2m + 1, у = 2m2 + 2m, z = 2m2 + 2m +1,
где m — произвольное натуральное число. Как видим, эти формулы позволяют находить не все прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами, а только те из них, в которых разность гипотенузы и большего (четного) катета равна 1.
Полное решение уравнения x2 + y2 = z2, дающее возможность находить все так называемые основные «пифагоровы тройки» (x, y, z), впервые встречается у Евклида. В современной символике оно имеет вид
x = p2 - q2, y = 2pq, z = p2 + q2,
где р и q — взаимно простые натуральные числа разной четности, причем р > q.
Удивительно, но математики Древнего Вавилона, оказывается, тоже владели общим методом нахождения «пифагоровых троек», о чем свидетельствует выполненная клинописью на глине таблица из 15 строк целых чисел, удовлетворяющих уравнению х2 + у2 = z2. Историк математики Отто Нейгебауэр показал, как вавилоняне могли получить эти тройки, среди которых есть такие, как (4961, 6480, 8161) и даже (12709, 13500, 18541).
Пифагорово уравнение х2 + у2 = z2 является частным случаем уравнения хn + уn = zn , по поводу которого знаменитый математик Пьер Ферма около 1635 года небрежно заметил, что оно не имеет решений в натуральных числах x, y, z, n, если n > 1. Это утверждение вошло в математику под названием Великой теоремы Ферма.