может ли студент уйти с работы не сообщая об уходе за 2 недели (заплатят ли?)

Как это.. . не сообщая? О_о

Трудовой кодекс не отличает студента от кого либо другого. Так что вопрос странный.

Студент - это в учебном заведении, а на работе - наемный рабочий, на которого действие ТК РФ распространяется целиком и полностью. Работник обязан предупреждать работодателя о своем желании уволится за 2 недели до даты увольнения.