На каком языке разговаривают местные жители Кубани?

Коренные жители Кубани - адыгейцы.
Самоназвание — адыгэ. Говорят на адыгейском языке абхазо-адыгской семьи языков. В России сохранились диалекты: темиргоевский (лежит в основе литературного адыгейского языка) , абадзехский, бжедугский, шапсугский.

Черкесы, также населяющие Краснодарский край-одна из народностей адыгов, живущая в Карачаево-Черкесии

Русскоязычное население - приезжие, в основном из Черноморского казачества, а также из нечерноземья России. Говорят на русском языке.