cos72-cos36=-1/2

1) по формуле разности косинусов:
A ≡ cos(72°)−cos(36°) = −2 sin(18°)sin(54°)

2) по формулам приведения
A = −2 sin(18°)cos(36°)

3) домножим обе части равенства на число 2cos(18°)≠0 и дважды воспользуемся формулой синуса двойного угла:
A·2cos(18°) = −2 (2 sin(18°)cos(18°)) cos(36°) = − 2 sin(36°)cos(36°) = −sin(72°).

4) Итак, получили равенство
2A·cos(18°) = −sin(72°).
Ещё раз воспользуемся формулой приведения (в правой части) :
2Acos(18°) = −cos(18°).

Сократив левую и правую части на cos(18°), получаем:
2A = −1,
или A = −½. Что и требовалось доказать.

Кстати, из этого равенства с помощью формулы косинуса двойного угла можно легко получить выражение cos(36°) в алгебраическом виде:
cos(72°) = 2cos²(36°)−1;
вводим обозначение cos(36°) ≡ t > 0;
(2t²−1)−t = −½.
4t²−2t−1 = 0
Решая получившееся квадратное уравнение и выбирая положительное значение корня, получаем:

_1+√5cos(36°) = –––—. 4