Есть ли какая-то закономерность в линейном преобразовании матрицы методом Гаусса?

не обращай внимания на дигонали, как тут тебе написали, диагонали это немного для другого.
Что такое матрица.. тупо и просто. .
представь себе систему уравнений хотя бы самую простую: ax+by=c и dx+ey=f
в форме матрицы она записывается так a b | c
d e | f
теперь помнишь уроки ну класса 4 где-то, или 5ого, как решали простые системы? есть 2 способа решения, рассмотрим сразу второй. Если помнишь, ну просто как пример, допустим у тебя уравнения 3=2x+3y и 4= -x+5y, ты можешь второе уравнение домножить на 2 и сложить с первым, таким образом избавившись от x. у тебя получается 3+8=2x+3y-2x+10y
11=13y, y=11/13. И всё, решение уже есть, осталось только найти х, скажем из первого уравнения 3=2х+3*(11/13), х=3/13
Вот с матрицей ты делаешь то же самое, что и описано, только в ней ты записываешь сами коэффиценты, а, скажем первая колонка означает, что это коэффциент для х, а вторая для у. Итак, тот же самый пример, только записанный в форме матрицы
2 3 | 3
-1 5 | 4 второй ряд домножаешь на 2 ( -2 10| 8) и складываешь с первым (0 11| 13) далее весь первый ряд делишь на 13
и получаешь
0 1 |11/13
-2 10|8 теперь первый ряд помножаешь на -10 и складываешь со вторым -2+0 -10+10 | 8-110/13

получается 0 1 |11/13
-2 0| -6/13 но второй ряд, как сам понимаешь теперь эквивалентен как если бы было -2y=-6/13
поэтому чтобы найти сам y ты делишь обе части уравнения на -2 и получаешь, что y=3/13
а для матрицы, ты весь ряд делишь на -2 и получаешь то же самое
0 1 |11/13
1 0 | 3/13
Мораль сей басни такова, что думай о матрицах, как о системах уравнений, где ты просто записываешь коэффициенты и решаешь методом сложения одного уравнения с другим, таким образом избавляешься от лишних неизвестных.