Какую мышцу развивает турник примерно средним хватом , и как ее качать в домашних условиях ?

верхнюю часть груди, плечи и руки. А дома отжимайся разными хватами

предплечье, спина, пресс, бицепс, плечелучевая мышца

Если возьмёшь обратным хватом то будет тебе и широчайшая спины, и бицепс.
Я бы посоветовал 2 разных режима подтягивания. Один день просто на рекорд - можно поход, два, три - не более, а то это уже не на рекорд будет, а в другой день подтягивание с весом прикреплённом к поясу - придумай как тебе его крепить. Тут подтягиваешься по 5 раз. Два подводящих подхода с увеличением веса и три подхода с большим весом, но не меняя его. Как только справился с каким-то весом 3х5,добавляй хотя бы 1 кг и опять достигай 3х5.