Имеет ли право мать несовершеннолетнего ребенка настоять на том, чтобы отпуск с места работы выдали именно летом

По закону - нет. Мать не состоит на работе ребенка, пусть даже несовершеннолетнего. А отпуск имеет место быть если несовершеннолетний работник отработал не менее четырёх месяцев. (взрослый 6 месяцев). Кроме того сущесвуют внутренние распорядки фирмы, и официальные графики отпусков.