Какая самая ближайшая граница с Россией, при пересечении с которой туристу нужно делать отметку на таможне?

Таможня вообще никаких отметок в паспортах не ставит. Штамп о пересечении границы ставят пограничники, украинские, например.

при чём здесь таможня? грузы что-ли перевозишь?
украина, беларусь.

Если государство безвизовое, то отметку не делают. Чтоб Вы сами поняли о чем спрашиваете, Вам нужно посмотреть на карту России, у которой протяженность границы наверное самая большая в мире, и решить ОТКУДА и КУДА Вы планируете ехать. Если вы все из Калининграда, это одно дело, если из Хабпаровска, то совсем другое.