скажите, проверяют ли подлинность печати рвп при пересечении границы?...

а что такое рвп? в загранпаспорте все проверяют.

Разрешение на временное пребывание в России выдает и ставит ФМС. На въезде все документы / фото / печати оперативно проверяются по единой базе.