В чём суть теоремы Пуанкаре

Cмысл гипотезы Пуанкаре в ее изначальной формулировке состоит в том, что для любого трехмерного тела без отверстий найдется такое преобразование, которое позволит его без разрезания и склеивания превратить в шар. Если это кажется очевидным, то что, если пространство не трехмерное, а содержит десять или одиннадцать измерений (то есть речь идет об обобщенной формулировке гипотезы Пуанкаре, которую и доказал Перельман)

Вчера был прекрасный фильм по КУЛЬТУРе, в котором на пальцах объяснялась эта проблема. Может, он у них еще есть?

http://video.yandex.ru/#search?text=Фил ьм о Перел ьмане&where=all&filmId=36766495-03-12
Входите в Яндекс и пишете Фильм о Перельмане и выходите на фильм

В теории динамических систем, теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности описывает возможные типы обратимой динамики на окружности, в зависимости от числа вращения p(f) итерируемого отображения f. Грубо говоря, оказывается, что динамика итераций отображения в определённой степени похожа на динамику поворота на соответствующий угол.
А именно, пусть задан гомеоморфизм окружности f. Тогда:
1) Число вращения рационально тогда и только тогда, когда у f есть периодические точки. При этом знаменатель числа вращения — это период любой периодической точки, а циклический порядок на окружности точек любой периодической орбиты такой же, как и у точек орбиты поворота на p(f). Далее, любая траектория стремится к некоторой периодической как в прямом, так и в обратном времени (a- и -w предельные траектории при этом могут быть разными) .
2) Если число вращения f иррационально, то возможны два варианта:
i) либо у f есть плотная орбита, и тогда гомеоморфизм f сопряжён повороту на p(f). В этом случае все орбиты f плотны (поскольку это верно для иррационального поворота) ;
ii) либо у f есть канторово инвариантное множество C, являющееся единственным минимальным множеством системы. В этом случае все траектории стремятся к C как в прямом, так и в обратном времени. Кроме того, отображение f полусопряжено повороту на p(f): для некоторого отображения h степени 1, p o f =R p (f) o h

При этом множество C в точности является множеством точек роста h — иными словами, с топологической точки зрения, h схлопывает интервалы дополнения до C.