У кота слишком мокрый нос, остаются даже следы на моих руках! Что это может быть? Насморк, аллергия? Кот не чихает.

Может быть у него аллергия на еду или на наполнитель в лотке. Кстати возможно даже на комнатный цветок, эфирное масло. Или он заразился простудой (гулял в холодное время года) , мог заразится вирусом от другого кота или от другой кошки. У кошек с людьми есть многие общие болезни, поэтому кот мог заразиться от человека. Может быть в комнате очень холодно тогда - кот простудился, возможно в комнате влажно - ничего страшного, надо проветрить комнату. Если простудился, заболел или аллергия, то к ветеринару. Он вам поможет.