к какой стране относится город тайбэй

Город Тайбэй – вообще-то столица Китайской республики на Тайване, фактически независимого государства, которое не следует путать с континентальным Китаем (Китайской Народной Республикой, КНР) .

История вкратце такова:

Китайская республика была провозглашена 1 января 1912 года после Синьхайской революции, свергнувшей ненавистную Цинскую династию.. .

(здесь я вынужден пропустить весьма насыщенный отрезок новой истории Китая, ибо формат ответа не позволяет)

... По окончании Второй мировой войны в 1945 году, после победы над японскими агрессорами, Тайвань был возвращён Китайской республике (остров был оккупирован Японией в 1895–1945 гг. )

Вскоре после победы над японскими оккупантами в Китае возникли внутренние разногласия между правящей партией Гоминьдан и набиравшей силу Коммунистической партией Китая (КПК) . Результатом этих трений был захват коммунистами власти в Пекине 1 октября 1949 года, провозглашение Китайской Народной Республики и эвакуация правящей верхушки Гоминьдана на Тайвань.

Смена власти в Пекине не сразу была принята "международным сообществом". Китайская республика на Тайване занимала место Китая в ООН и в Совете безопасности ООН (как одна из учредителей Организации Объединённых наций) вплоть до 1971 года, когда на очередной сессии Генассамблеи ООН её заменили на КНР.. .

Выжить в противостоянии с КНР Тайваню помогла сначала помощь "западных" держав (в первую очередь США) , а впоследствии – политика поддержки свободного предпринимательства.. .
В 1980-ых годах КНР только начала оправляться от "культурной революции", а на Тайване уже вовсю производились компьютеры Acer :)

Тайбэйское метро

Людмила, если Вас действительно интересует история Тайбэя и Тайваня, наберите в любом поисковике, например, "Цзян Цзинго" или "Фаина Вахрева" – уверяю Вас, найдёте много интересного :)