Ироциональные уравнеие
Публикуемый материал является дополнением к заданию ЗФТШ №1 для 10 класса. В нём рассматривается два типа иррациональных уравнений: и .
Уравнения типа рассматриваются для того, чтобы ещё раз обратить внимание на то, что ОДЗ этого уравнения находить не надо, а неотрицательность правой части для решений проверять обязательно. Кроме того, рассматриваются различные способы решения простейшего вида этих уравнений: . Показывается аналитически и графически, откуда берутся посторонние ("лишние") корни.
Для уравнений второго типа показывается, что при их решении нет необходимости решать систему неравенств (ОДЗ) , а достаточно подставить найденные корни уравнения в одно из них.
Приведенные маленькие замечания позволяют сократить время на решение таких стандартных задач, а потому дают возможность успешнее справляться с задачами на контрольных и выпускных экзаменах в школе, вступительных в вуз, при решении заданий ЕГЭ любого уровня.
Материал рекомендуется учащимся, начиная с 9 класса.
Уравнения вида [править]
При решении уравнения этого вида очень многие школьники прежде всего находят ОДЗ: затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют, после нахождения решений, условие и успокаиваются. Ответ может оказаться неверным. Почему? Потому что могут появиться "лишние" корни. Почему? Потому что после возведения в квадрат решаются сразу два уравнения: и но на разных промежутках числовой оси: — там, где и — там, где "Лишние" корни — это корни второго уравнения, геометрически это — пересечение графика функции с графиком функции
Как быть?
Дело в том, что обе части любого уравнения всегда можно возвести в квадрат, но при этом может получиться неравносильное уравнение, а, значит, могут появиться посторонние корни. В нашем случае получится уравнение при этом очень важно, что ОДЗ уравнения выполняется автоматически, поэтому при таком способе решения не надо тратить энергию на решение неравенства
Заметим, что уравнение может иметь решение для но не имеет решений, если
Вспомним, что, если, то
Так как уравнение может иметь решение лишь при условии (т. е. обе части в ОДЗ уравнения неотрицательны) , то
Это очень важное условие равносильности. Во-первых, оно освобождает учащегося от необходимости исследовать, а после нахождения решений и проверять условие неотрицательности подкоренного выражения, т. к. это условие выполняется автоматически.
Во-вторых, акцентирует внимание на проверке условия неотрицательности правой части — это условие "отсекает" посторонние корни -- корни уравнения
При этом сначала решается уравнение, а затем найденные корни подставляются в неравенство. Неравенство (за редким исключением, когда корни "плохие") заранее решать не надо.
Наше условие равносильности особенно полезно при решении тригонометрических уравнений, в которых нахождение ОДЗ связано с решением тригонометрических неравенств, что гораздо сложнее, чем решение тригонометрических уравнений. В тригонометрических уравнениях даже проверку условия не всегда просто сделать.
Замечание. При решении любых уравнений, где есть хотя бы один неравносильный переход, надо делать проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение!
Пример 1.[править]
В этом примере особенно хорошо видно, что при решении важным является условие а ОДЗ корня искать не надо, да и найти трудно.
Посмотрим внимательно на уравнение
Сумма коэффициентов этого уравнения равна 0, значит, х=1 является корнем. Теперь можно выделить множитель (х-1) делением столбиком, при помощи схемы Горнера или группировкой, выделяя последовательно слагаемые, которые делятся на (х-1):
Значит, исходное уравнение эквивалентно системе
откуда или .
Любопытно, что принадлежит ОДЗ, но не является решением, т. к. для него не выполнено условие
Ответ: 0,5; 1.
Пример 2.[править]