Лидеры категории
Лена-пена
М.И.
Y.Nine
•••
Искусственный Интеллект
Искусственный Интеллект
Искусственный Интеллект
Лучший ответ
Alexxx
(3657)
17 лет назад
Гипотеза Пуанкаре
Неформально говоря, она утверждает, что всякий «трехмерный объект» , обладающий некоторыми свойствами трехмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема) , обязан быть сферой с точностью до деформации. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре, как успешные, так и неудачные, привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.
В исходной форме гипотеза утверждает, что:
Всякое односвязное замкнутое трёхмерное многообразие гомеоморфно трехмерной </сфере. </b>
http://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза_Пуанкаре
Гомеоморфизм - это непрерывное преобразование, деформация, которой можно подвергнуть множество, сохранив при этом его топологические свойства (например, k-связность) . Чашку легко непрерывным преобразованием превратить в бублик, а апельсин - в Солнце. При этом преобразовании сохраняются важнейшие топологические инварианты, такие, как число k. Два множества, которые можно гомеоморфизмом превратить друг в друга, с топологической точки зрения считаются эквивалентными.
Говорят, что поверхность k-связна, если на ней можно провести k-1 замкнутую кривую, которые не делят ее на две части. Сфера (поверхность апельсина) односвязна: как ни проводи на ней замкнутую кривую, кусочек вырежется; а вот поверхность бублика двусвязна - ее можно, например, разрезать поперек, превратив в цилиндр, но сохранив целостность (а вот повторно разрезать цилиндр уже не получится) . Для поверхностей в трехмерном пространстве это свойство как раз и означает, что в поверхности есть k-1 "дырка". В общем случае поверхность односвязна, если на ней любую замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в точку. Интуивно очевидно, например, что поверхность бублика этим свойством не обладает (меридиан или параллель в точку не стягиваются) .
Хочу обратить особое внимание на то, что "трехмерная поверхность" может размещаться в пространстве, чья размерность как минимум 4! Трехмерная сфера - это поверхность четырехмерного шара (привычная нам двухмерная сфера - поверхность трехмерного шара) .
http://offline.computerra.ru/2006/621/247630/
Неформально говоря, она утверждает, что всякий «трехмерный объект» , обладающий некоторыми свойствами трехмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема) , обязан быть сферой с точностью до деформации. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре, как успешные, так и неудачные, привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.
В исходной форме гипотеза утверждает, что:
Всякое односвязное замкнутое трёхмерное многообразие гомеоморфно трехмерной </сфере. </b>
http://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза_Пуанкаре
Гомеоморфизм - это непрерывное преобразование, деформация, которой можно подвергнуть множество, сохранив при этом его топологические свойства (например, k-связность) . Чашку легко непрерывным преобразованием превратить в бублик, а апельсин - в Солнце. При этом преобразовании сохраняются важнейшие топологические инварианты, такие, как число k. Два множества, которые можно гомеоморфизмом превратить друг в друга, с топологической точки зрения считаются эквивалентными.
Говорят, что поверхность k-связна, если на ней можно провести k-1 замкнутую кривую, которые не делят ее на две части. Сфера (поверхность апельсина) односвязна: как ни проводи на ней замкнутую кривую, кусочек вырежется; а вот поверхность бублика двусвязна - ее можно, например, разрезать поперек, превратив в цилиндр, но сохранив целостность (а вот повторно разрезать цилиндр уже не получится) . Для поверхностей в трехмерном пространстве это свойство как раз и означает, что в поверхности есть k-1 "дырка". В общем случае поверхность односвязна, если на ней любую замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в точку. Интуивно очевидно, например, что поверхность бублика этим свойством не обладает (меридиан или параллель в точку не стягиваются) .
Хочу обратить особое внимание на то, что "трехмерная поверхность" может размещаться в пространстве, чья размерность как минимум 4! Трехмерная сфера - это поверхность четырехмерного шара (привычная нам двухмерная сфера - поверхность трехмерного шара) .
http://offline.computerra.ru/2006/621/247630/
Остальные ответы
Sky Angel
(320)
17 лет назад
Гипотеза Пуанкаре считается наиболее известной проблемой топологии. Неформально говоря, она утверждает, что всякий «трехмерный объект», обладающий некоторыми свойствами трехмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре, как успешные, так и неудачные, привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.
В исходной форме гипотеза утверждает, что:
Всякое односвязное замкнутое трёхмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере.
Гипотеза сформулирована Пуанкаре в 1904 г. Доказательство гипотезы Тёрстона о геометризации и в частности доказательство гипотезы Пуанкаре опубликовано только в 2002 г. петербургским математиком Григорием Перельманом (Филдсовская медаль 2006 г.) и признано верным только спустя четыре года.
Обобщённая гипотеза Пуанкаре
Обобщенная гипотеза Пуанкаре утверждает, что:
Для любого n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.
Исходный вариант является частным случаем обобщенной гипотезы при n = 3 и только для этого случая не существовало доказательства. Доказательства для получены в начале 1960-1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом (для , его доказательство было распространено на случаи n = 5 и 6 Зееманом). Доказательство значительно более трудного случая n = 4 было получено только в 1982 г. Фридманом (Филдсовская медаль 1986 г.).
В исходной форме гипотеза утверждает, что:
Всякое односвязное замкнутое трёхмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере.
Гипотеза сформулирована Пуанкаре в 1904 г. Доказательство гипотезы Тёрстона о геометризации и в частности доказательство гипотезы Пуанкаре опубликовано только в 2002 г. петербургским математиком Григорием Перельманом (Филдсовская медаль 2006 г.) и признано верным только спустя четыре года.
Обобщённая гипотеза Пуанкаре
Обобщенная гипотеза Пуанкаре утверждает, что:
Для любого n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.
Исходный вариант является частным случаем обобщенной гипотезы при n = 3 и только для этого случая не существовало доказательства. Доказательства для получены в начале 1960-1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом (для , его доказательство было распространено на случаи n = 5 и 6 Зееманом). Доказательство значительно более трудного случая n = 4 было получено только в 1982 г. Фридманом (Филдсовская медаль 1986 г.).
Похожие вопросы