Подскажите какая часть речи слово гуляя.

ГУЛЯЯ – ЭТО ОСОБАЯ ФОРМА ГЛАГОЛА, ДЕЕПРИЧАСТИЕ, так как:
◆ образовано от глагола ГУЛЯТЬ при помощи суффикса -Я-;
◆ на вопрос ЧТО ДЕЛАЯ? отвечает как особая форма глагола (кстати, некоторые учёные уже называют деепричастие самостоятельной частью речи);
◆ обозначает добавочное действие, характеризующее действие основное, выраженное глаголом, являющимся в предложении сказуемым (предложение записать Вы не догадались);
◆ имеет признаки глагола: оно несовершенного вида, непереходное, невозвратное;
◆ имеет признаки наречия: не изменяется и в предложении, как и наречие, является обстоятельством одиночным или в составе деепричастного оборота: отвечает как член предложения на вопрос КОГДА? (вопрос как к члену предложения задаётся от глагола-сказуемого), например: Когда человек, гуляя, о чём-то глубоко задумывается, он интуитивно выбирает себе самую простую и знакомую дорогу. [Фазиль Искандер) – задумывается когда? гуляя.

Образование от глагола и совмещение в одном слове признаков глагола и наречия свидетельствуют о том, что перед нами ДЕЕПРИЧАСТИЕ.

Памятка из Интернета Вам в помощь:
.