Mail.Ru Почта Мой МирОдноклассникиИгрыЗнакомстваНовостиПоиск

Так сколько же аксиом в геометрии?

Мастер (1590), закрыт 6 лет назад
Евклид в своих "Началах" описал пять аксиом:
1. Через каждые две точки можно провести ровно одну прямую;
2. Вдоль любого отрезка можно провести прямую;
3. Имея отрезок, можно провести окружность так, что отрезок — радиус, а один из его концов — центр окружности;
4. Все прямые углы равны.
5. Аксиома параллельности Евклида: Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.

А вот в учебнике по геометрии за 7-11 классы А.Погорелова их девять:
1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну;
2. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими;
3. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
5. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусам. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
7. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 градосов, и только один.
8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Некоторые аксиомы схожи, например первые, а также 5-ая у Евклида и 9-ая в учебнике Погорелова. Но откуда Погорелов взял остальные аксиомы? Или он как-то вывел их из тех пяти евклидовских аксиом? Но тогда они должны быть теоремами! В стереометрии, например, добавляются еще три аксиомы, откуда они берутся? Кто их основоположник и предусматривал ли их Евклид? Немецкий математик Гильберт, например, в своей книге "Основания геометрии" (1923 год) вообще выкладывает аж 20 аксиом! И разделяет их на пять групп. Сам ли он придумал их?
Дополнен 6 лет назад
Также кто знает, уточните, пожалуйста, какие из 9-ти аксиом Погорелова соответствуют 5-ти Евклидовым.
Например:
1-ая евклидова = 1-ая погорелова
5-ая евклидова = 9-ая погорелова
а остальные?
Лучший ответ
Наука не стоит на месте. В частности, с течением времени она развивается не только "вшиль". Улучшается и понимание ОСНОВ науки, даже таких базовых как аксиомы евклидовой геометрии. Евклиду многие вещи запросто могли не приходить в голову именно потому, что они очевидны. Даже более очевидны, чем то, что через две точки можно провести только одну прямую. И поэтому он их и не выделил явным образом (например, аксиома 3 из Погорелова. Ну ведь ежу пяному понятно, что это так!) .
Мне кажется, что появление дополнительных аксиом связано именно со стремлением более строго изложить основы геометрии. Еслипочитаете историю развития теории мноржеств - то там много таких поучительных моментов (она и по сей день до конца не разработана) . Все эти вещи - точка, прямая, плоскость, взаимоотношение между точками на прямой.. . -это всё прямо относится к понятиям теории множеств. Оказывается, что ФОРМАЛЬНО можно придумать такое множество, где эти очевидные вещи могут не выполняться. Например, на множестве векторов вообще не определить понятия "больше" или "меньше" или "между". Вот для того, чтоб исключить такие парадоксы, и предложены дополнительные аксиомы. Это повышает строгость изложения последующего материала.
Впрочем, всё это лишь мои домыслы...
АндрейМастер (1590) 6 лет назад
Вроде убедительно, но шестое чувство подсказывает, что это как-то ненаучно :-) .
Кстати я не понял: с течением времени она развивается не только "вшиль", или это опечатка?
Остальные ответы
Я думаю что их 3.
АндрейМастер (1590) 6 лет назад
Как это - три??!!Какие?
при построении любой системы научных ( да и ненаучных) представлений неизбежны допущения.. . и столько, сколько надо для определения отправных точек дальнейших рассуждений.. .
в геометрии их принято называть аксиомами.. . они действительно очевидны.. .
(хотя "очевидность" не редко подводила исследователей в других областях.. . )
проверкой " очевидности" принятых аксиом является непротиворечивость теории, построенной на этих аксиомах ...
АндрейМастер (1590) 6 лет назад
Да, это понятно, в науке и существует такое понятие как аксиоматика науки. Евклид это и сделал, определил некоторые отправные точки и дело поехало, теоремы за теоремами. Погорелов же с Гильбертом ввели новые аксиомы. Конечно их аксиомы тоже очевидны. Но правильно ли вводить новые отправные точки, если в этом нет необходимости. Вдруг в будущем из-за их новых аксиом появятся противоречия в теоремах. Тогда придется пересматривать от самого начала. Неужели евклидовых аксиом недостаточно?
Lyuda Dm... Оракул (62154) я не математик... но по сути... при детализации каких-то представлений и необходимости точнее выразить своё мнение приходится наверно вводить дополнительные положения... для выделения ёще каких-то аспектов... хотя конечно, как в геометрии - это будут производные от основных аксиом... допускают что хотят... и смотрят что получится... если очередное допущение не противоречит предыдущему - то всё пойдет ...главное чтоб принятые основы не были из разных систем взглядов... и были совместимы... аксиома и допущение... их трудно разграничить... но это разное... Риман допустил, что параллельные могут перекрещиваться и появилась другая геометрия... непротиворечивая внутри... но всё-таки считать его допущение аксиомой - язык не поворачивается...
Две параллельные линии не пересекаются доказано Эвклидом, надежной бытовой техники не существует доказано кувалдой :-)))
Пересчитывать аксиомы – это неблагодарное занятие. Во-первых, аксиомы Евклида – это планиметрия, а в школьной математике рассматривается стереометрия. У Евклида плоскость одна, в стереометрии рассматривается пересечение плоскостей. (так возникает разница в количестве) .
Если говорить об аксиоматике Гильберта, то основная задача этой системы аксиом – уйти от наглядности и построить абстрактную, а потому очень надежную логическую структуру.
Кому-то удобней работать с наглядными понятиями, кто-то предпочитает наглядность. В математике существует понятие изоморфизма. Суть очень проста: не важно какие принципы и соображения лежат в основании определенной математической модели, важно понять одинаковы ли модели. Если точка в одной модели совпадает точкой в другой модели, то остается понять простую вещь: совпадают ли аксиомы, если нет, то можно ли “чужую” аксиому превратить в “свою” теорему ми доказать. Если “стыковка” произошла успешно, то математические теории изоморфны, если нет, то возникают разные геометрии: Лобачевского, Римана и т. д.
АндрейМастер (1590) 6 лет назад
1. У Евклида планиметрия и пять аксиом, и в школах преподают планиметрю, но с 9-ю аксиомами.
2. Можете, пожалуйста, привести пример изоморфизма, и чтобы был поближе к тематике геометрии.
Андрей Котоусов Искусственный Интеллект (153232) Объекты, удовлетворяющие аксиомам геометрической системы, допускают множество интерпретаций или моделей. Вот любопытная картинка. Выполним стереографическую проекцию. Тогда сфера станет плоскостью, круги прямыми, а дуги отрезками. Поскольку между точками установлено взаимнооднозначное соответствие, то любое построение, выполненное на плоскости, находит свое отражение на сфере.
около 100 включая планеметрию и тд
5. Аксиома параллельности Евклида: Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.
Это не аксиома Евклида это аксиома Плейфера есть даже теорема : Аксиома параллельности Плейфера и 5-й постулат Евклида являются эквивалентнми предложениями
В книгах по школьной программе берут оксиоматику Гильберта (включает в себя аксиоматику Евклида и собственно сами "разработки" Гильберта) и в методических целях перерабатывают ее (для большей понятности учащимися)
Поэтому можно сказать, что школьная программа это геометрия Гильберта - Евклида переработанная из методических соображений автором книги
Источник: Я. Л. Трайнин Основания Геометрии (1961 год) и "опыт"
Также спрашивают