Гуру (4688), решён 2 года назад
Помогите с задачей, господа
Лучший ответ
Ой, случайно отправлось...
Чтобы ответ не пустел, оставлю ход мыслей.
Не понятно, чу делать - значит для начала надо тупо всё на всё перемножить.
Но хочется чтобы было поменьше переменных.
Будем считать, что a < b < c, т.к. от смены значений переменных, результат выражения не меняется. Для левой части возьмем минимальное значение, для правой части - максимальное. Слева заменю все `b` на `c`, а справа заменю на `a`
1/(a²+b²)+1/(b²+c²)+1/(c²+a²)+8/(b²+c²+a²) >= 6/(ab+bc+ca)
1/(a²+c²)+ 1/(2c²) +1/(a²+c²)+8/(2c²+a²) >= 6/(a²+2ac)
2/(a²+c²)+1/(2c²)+8/(2c²+a²) >= 6/(a²+2ac)
|* умножу всё на (a²+c²)(2c²)(2c²+a²)(a²+2ac)
2(2c²)(2c²+a²)(a²+2ac) + (a²+c²)(2c²+a²)(a²+2ac) + 8(a²+c²)(2c²)
(a²+2ac) - 6(a²+c²)(2c²)(2c²+a²) >= 0
У меня есть четыре положительных скобки.
Могу назначить их новыми буквами i, j, k, u ?
(a²+c²)[i], (2c²)[j], (2c²+a²)[k], (a²+2ac)[u]
2jku + iku + 8iju - 6ijk >= 0
ku(2j + i) + 2ij(4u - 3k) >= 0
// что-то не туда повернул... Остальные ответы
не Беня, как я уже говорил, я могу доказать легко, но не для всех чисел, а только для которых среднее арифметическое не более, чем в 2.5 раза больше среднего геометрического
Во:
3 месяца
Можно чуть упростить. Поскольку при домножении всех чисел на t > 0 неравенство не меняется, можно смасштабировать это неравенство и считать, что a²+b²+c² = 1. Это сразу даёт Вашу функцию F().
3 месяца
Александр Шмуратко, О, Александр, здравствуйте. Неравенства - это моё вроде как хобби. Кстати, вот придумал неравенство: доказать, что для любого треугольника S/P⩽¼·R (S площадь, P периметр, R радиус описанной окружности)
Кто то мне говорил, что вы имели или имеете отношение к олимпиадам математическим. Оцените. Или я изобрел велосипед?
3 месяца
Здравствуйте! (Как Вас зовут, Вы так и не сказали мне в прошлый раз?) Неравенство я бы доказал так. Площадь равна
. S = r·P/2.
Поэтому неравенство равносильно такому:
. R ≥ 2r.
А это следует из формулы Эйлера для треугольника.
P.S. Да, я когда-то занимался олимпиадными задачами со школьниками.
3 месяца
Александр Шмуратко, Называйте Максим. Здесь у меня есть немало ...ну скажем так, людей, с кем у меня непростые отношения и им незачем знать лишнее. Один из них - автор этого вопроса))
3 месяца
Александр Шмуратко, мое доказательство чисто алгебраическое и базируется на неравенстве (для x,y,z>0)
3 месяца
Александр Шмуратко, которое интересно само по себе, и это я к нему прицепил геометрические аналогии
3 месяца
Александр Шмуратко, Собственно, я доказал именно его, а потом придумал геометрию для того, чтобы усложнить. Но вы мне показали своим решением, что скорее упростил))
3 месяца
Александр Шмуратко, возвращаясь к первому вашему комментарию насчет "упростить": это утверждение требует доказательства, поэтому (по моему, во всяком случае мнению) на упрощение как то не тянет, извините, конечно))
3 месяца
Какое утверждение требует доказательства?
Мы можем перейти к равносильному неравенству, домножив числа a, b и c на любое t > 0, т.к. всё равно t выносится и сокращается.
Т.е. если неравенство верно для (a, b, c), то оно верно и для (ta, tb, tc). И наоборот.
Так домножим на такое t, чтобы выполнялось равенство:
. a²+b²+c² = 1.
Это обычный приём в подобных случаях.
3 месяца
Ну т.е для меня, а я после вас не самый последний математик, во всяком случае на этом проекте, это не вполне очевидно))
3 месяца
Причём t необязательно находить и указывать. Его значение ведь неважно.
3 месяца
Александр Шмуратко, То время или те усилия, которое (ые) тратится на строгое доказательство вашего утверждения, "съедают" упрощение. Т.е упрощением это было бы в случае очевидности
3 месяца
Короче, по простому: вы так мыслите, вам так удобнее. Но! Вы математик высокого класса, и то, что очевидно вам, не очевидно школьнику.
3 месяца
Александр Шмуратко, Короче, по простому: вы так мыслите, вам так удобнее. Но! Вы математик высокого класса, и то, что очевидно вам, не очевидно школьнику.
3 месяца
Как раз с методической точки зрения школьникам, любящим математику, полезнее научиться какому-нибудь приёму, который пригодится для решения многих других задач.
См., например, книгу Седракяна "Неравенства" (2002), параграф 6 "Метод использования свойств симметрии и однородности".
3 месяца
Кстати, там, в списке задач для самостоятельного решения, первым идёт Ваше неравенство.
3 месяца
Александр Шмуратко, Верите, сам хотел книгу написать про неравенства, исправив по возможности недостатки Седракяна (мной найденные, разумеется)
3 месяца
Александр Шмуратко, Я поясню свою мыслю еще раз: предположим, некий школьник, усвоив некий шаблон, использует его, даже споро и успешно. Возможно такое? Да. Я сам так делал в юности. Вопрос: всегда ли он понимает суть того, что делает? Ответ: нет. Я, опять же, личный опыт, в юности часто вообще этого не понимал, просто - есть правило, делаю так, как предписывается
3 месяца
Александр Шмуратко, А как вы считаете, кстати, вот такая книга, ну типа Седракян-2 сегодня имела бы шансы на успех?
3 месяца
Александр Шмуратко, Что, конечно, считать успехом...Спрос у заинтересованной аудитории. Чтоб цитировали, как вы только что..
3 месяца
Нет, конечно, люди разные: и взрослые, и школьники. Каждый идёт своим путём. Я не хотел сказать, что если есть приём, то непременно им и решать. Пусть будет свобода каждому в его меру. Я, например, люблю поискать решения некоторых текстовых задач "без использования иксов", к которым все так привыкли. Это будит мышление.
3 месяца
Александр Шмуратко, Бывают такие вопросы, буквально :"решите без иксов и уравнений" Я обычно пишу в ответ:"Иксы ваши не что иное, как запись условия на формальном языке, равно и уравнения, не бойтесь их, привыкайте к этому языку, он дает скрытые возможности "
3 месяца
Александр Шмуратко, А знаете, почему я написал тот текст, что выше? Потому, что у(для) меня в начальной школе всегда было "не очень" без иксов. Поскольку я учился в сельской школе, то меня никто особо и не учил, а сам я принял для себя правило: всё, что неизвестно, обозначай "х", еще есть что то, пусть будет "y". И так я сам с этим формальным языком незаметно перешел на "ты"
3 месяца
Александр Шмуратко, Да если честно, я только школу и закончил, а всё остальное - результат самообразования
3 месяца
Александр Шмуратко, Доказал за 10 минут. Не шучу, не хвастаюсь, хотя очень хочу, но, блин, никто не оценит. Как Дмитрий Иванович Менделеев свою таблицу, спал и увидел. Перед этим долго сидел, устал .. лёг спать, проснулся и словно всё само сложилось
3 месяца
Александр Шмуратко, Александр, у меня тут запой случился предновогодний, поэтому вы особо не обращайте внимания на то что я там выше понаписал (имеется ввиду не формулы, а всякое отвлеченное философствование)
3 месяца
Посмотрел Ваше доказательство неравенства. Хитро же Вы придумали!
3 месяца
Александр Шмуратко, И то и другое неравенство, кстати, олимпиадного уровня. Так случилось. Александр, что и поговорить то не с кем. Сайт профилированный закрыли
3 месяца
Александр Шмуратко, ну этот, хэш чё то там, где фальконе главную скрипку играл
3 месяца
Александр Шмуратко, а что, у Седракяна есть доказательство этого неравества?
3 месяца
Хотите верьте, хотите нет, но я в таком тайминге решил все задачи международных олимпиад
3 месяца
У Седракяна есть и доказательство. Он просто раскрыл скобки и заковыристо перегруппировал.
У меня сложилось ещё одно решение. Завтра изложу. В копилку. Люблю разные способы решения задач.
3 месяца
Есть такое неравенство: если a ≤ x ≤ b, то
(1) ab ≤ x(a + b – x).
Его смысл прост: "чем ближе к квадрату, тем больше площадь". Слева — площадь прямоугольника, справа — площадь другого прямоугольника того же периметра, который "ближе к квадрату".
Доказать это неравенство тоже легко. Заменим а на x–u, b на x+t и раскроем скобки. Всё.
Так что, имея произведение двух чисел a·b, можно его "немного" увеличить, если подобрать какое-то число между a и b.
3 месяца
Теперь к Вашему неравенству. Можем считать,что x ≤ y ≤ z. Применим (1) дважды и получим:
. (x + y – z)(x + z – y)(y + z – x) ≤ x²(y + z – x) ≤ xyz.
Здесь в первом случае промежуточное число было x, а во втором — y.
3 месяца
Предложу ещё одно решение. Переобозначим скобки буквами a, b и c. Тогда неравенство примет вид:
. abc ≤ (a+b)/2 · (b+c)/2 · (a+c)/2.
Но это очевидно, ведь здесь три соотношения между средними арифм. и геом.
3 месяца
Александр Шмуратко, то неравенство, которое у меня как лемма - это вот отсюда:
3 месяца
Александр Шмуратко, т.е. я сначала его доказал, а потом то увидел, ну и сразу понял, что это одно и то же по сути
3 месяца
Александр Шмуратко, а неравенство (1) я по другому увидел: если х расположен между корнями a и b квадратного трехчлена рогами вверх, то трехчлен, ясен-красен при этом х отрицательный
3 месяца
Александр Шмуратко, Да, кстати, за что я вас особенно ценю, так за умение решить просто. Сам я этим не страдаю, скорее наоборот. Посмотрите, пожалуйста вот это. Что то там мне не нравится, но не могу понять, что. Там довольно подробно, но это я специально мальчику разжевывал. Хороший мальчик, кстати
https://otvet.mail.ru/question/239304555
3 месяца
Александр Шмуратко, про мальчика ещё хотел сказать. Вы же из Петербурга, кажется? Не знаю, откуда у меня эта информация, могу ошибаться. Просто мальчик тоже из Питера, и очень увлечён, я такое сразу вижу. С ним бы позаниматься
3 месяца
Sergio 3.0, я думаю, что у этого мальчика и своей школе есть хорошие преподаватели, которые его подтянут. И таких, как он, много, просто остальным есть чем заняться и они тут не сидят.
3 месяца
Sergio 3.0, да и все-таки неравенства не мой конек... Тут мне вас не переплюнуть.
3 месяца
Павел К. Ржов, Паша, со мной вот никто не занимался, а я жалею, а надо было
3 месяца
Sergio 3.0, ну так и у мну не было индивидуального наставника... Я к олимпиадам и не готовился никогда...
3 месяца
Sergio 3.0, угадайте, кого показывали перед Своей игрой? Конечно же, петуха болгарского! Смешали, блин, ежа с ужом.
3 месяца
Sergio 3.0, с таким телевидением пусть не удивляются, что необразованное поколение растет. Скоро такие как мы будем в диковинку, их бы не прос*ать
3 месяца
Павел К. Ржов, я не смотрю, мне как то по фиг. Я в своем параллельном мире живу
3 месяца
Sergio 3.0, порятие красоты разное у людей. Мне наиболее нравится у Александра через тройное среднее, если мы про это неравенство
3 месяца
Я сейчас не занимаюсь математикой вообще. Здесь – как хобби в свободное время. Поэтому ни с каким мальчиком позаниматься не могу.
А Ваше тригонометрическое неравенство как-нибудь посмотрю. Отвечу там, под Вашим решением.
3 месяца
Александр Шмуратко, я тоже устаю от математики , но тогда я просто пью)) это случается примерно два раза в год
3 месяца
Александр Шмуратко, почувствовал легкое раздражение в вашем ответе. если я тому причиной, то не хотел, простите
3 месяца
Sergio 3.0, самые крутые математики щас в телеграме сидят:)
Недавно такое неравенство решал:
(Шедевр)
Дано: a^2+b^2+c^2+abc=4
доказать, что max{abc; (a+b+c) ⁄ 3}≤1
3 месяца
cretty pat, Решение:
Замена a = 2cos(a), b = 2cos(b), c = 2cos(c)
Тогда, оказывается, после деления на 4 мы получаем известное тригонометрическое тождество для углов треугольника с доказательством которого можно ознакомиться по ссылке ( https://math.stackexchange.com/questions/3350887/prove-a-trigonometric-identity-cos2a-cos2b-cos2c2-cos-a-cos-b-cos-c-1 ).
abc <= 1 равносильно cosa*cosb*cos <= 1/8 - такое тождество тоже оказывается существует ( https://math.stackexchange.com/questions/952893/cos-a-cos-b-cos-c-leq-frac18 )!
(a+b+c) ⁄ 3 <= 1 равносильно cos(a) + cos(b) + cos(c) <= 3/2!!! ( https://math.stackexchange.com/questions/4995784/prove-that-cos-a-cos-b-cos-c-le-frac32-using-jensens-inequality )
