иррациональные числа

Чисел вообще никаких в природе не существует. Это чисто умственный предмет.

0. Иррациональным называется число, не представимое в виде отношения целых чисел. Представление их в виде бесконечной непериодической дроби - да, артефакт системы счисления.
1. Да, существуют в том же смысле, в котором существуют остальные числа.
2. Нет, если перевести иррациональное число в другую с. с. , оно останется иррациональным. Не путай иррациональные числа с периодическими дробями.
3. Можно предложить систему счисления, основанную на некоторых иррациональных числах (она будет серьезно отличаться от классических позиционных систем, и тем не менее) . В таком случае часть иррациональных чисел будет в этой с. с. записываться конечным числом знаков, но таких чисел будет лишь счетное количество. А иррациональных чисел континуум.

Да, существуют. Не путайте сами числа с тем или иным их представлением. Позиционные системы, с тем или иным основанием - это совсем не то, что собственно числа.
Подробнее читайте в моей статье:
http: //www .gptelecom .ru/Articles/complex.pdf
(пробелы убрать).

Почему же нет? Числа "пи" и "е" явно существуют, а они не только иррациональны, а еще и трансцендентны. А комплексные числа вообще нечто столь абстрактное, что и представить себе их как количества трудно. Тем не менее они встречаются в науке и технике почти везде.

Система счисления - это лишь способ представления числа. А представление числа никак не изменяет величины числа.
Пример из другой области: можно сказать "яблоко", можно сказать an apple, можно сказать la pomme, можно сказать der Apfel - но в любом случае ОБЪЕКТ один и тот же. Яблоко. От того, что мы по-разному пишем (обозначаем) , суть объекта не меняется. С числами и системами счисления то же самое.

________________________________

Коммент по ответу С . Гаврилова: интересная статья.. . Есть одно замечание, по поводу строгости изложения. Вы пишете:

(+a) + (-b) = +(a - b) – смешанный случай при a > b ;
(+a) + (-b) = -(b - a) – при a < b ..

Вам не кажется, что перед этим следовало бы определить, что такое "больше" и "меньше" на всём кольце, и что такое -а по отношению к а?