Есть разница между having fun и have fun? Или это синонимы?

Глагол have - это глагол недлительной группы, и не может использоваться во временах группы Continuous. Тем не менее, форму "having" используют для того, чтобы подчеркнуть, что действие происходит сейчас. Обычно в таких случаях речь идёт о действии, которое обычно длится относительно небольшой промежуток времени. В литературе используется с той же целью, чтобы создать ощущение присутствия, сиюминутности, и считается архаизмом.