Может ли мать проживать по месту постоянной регистрации ребенка?

Анастасия, ничего утешительного в вашей ситуации с юридической точки зрения нет. Во-первых, ваш вывод, о том, что имея "прописку" в Подмосковье вы не обязаны регистрироваться по месту пребывания в Москве не основан на законе. В действительности (см. пункт 9 Правил регистрации и снятия граждан РФ с регистрационного учета) обязанность обратиться за регистрацией возникает спустя 90 суток со дня прибытия для временного проживания в жилое помещение, не являющееся вашим местом жительства. Т. е. даже если вы прибыли в соседнею квартиру, то спустя 90 суток с момента вселения – обязаны обратиться за регистрацией. Но, в месте с тем в этой норме есть и существенные особенности которые помогут Вам избегать нападок, связанных с отсутствием у вас регистрации т. к. вы можете, прожив 90 суток формально выехать из квартиры и затем заехать в нее заново. В случае проблем с участковым говорите ему прямо – проживаю менее 90 суток, если потребуется, то и занесите в протокол. Это поможет вам избежать административной ответственности по ст. 19.15 КоАП РФ (проживание без регистрации) .

Что же касательно гражданской ответственности то ваша свекровь в любой момент вправе подать на вас иск о принудительном выселении, так как вы с точки зрения Жилищного кодекса РФ вселились не законно. И она имеет все шансы выиграть это дело.
Ни статья 79 ЖК РФ, устанавливающая право вселения членов семьи, ни ст. 80 ЖК РФ, устанавливающая правовое положение временных жильцов не позволяет вселять кого либо (кроме несовершеннолетних детей) без согласия всех членов семьи. Вышеприведенные коллегами ссылки на Семейный кодекс, мне кажется не уместными так как они не устанавливают какое-либо специальное право на вселение матери к ребенку и не создают возможности для ограничений жилищных прав вашей «любимой» свекрови.

Постарайтесь не подаваться на провокации вашей свекрови. Если она будет апеллировать к участковому с заявлением о ваше выселении, помните что участковые не вправе вмешиваться в гражданскоправовые отношения жильцов. Приказом МВД РФ №900 (должностная инструкция участковых) им прямо и не двусмысленно запрещено принимать меры для внесудебного выселения граждан.

Смотрите и судите сами,
Жилищный кодекс РФ

Статья 70. Право нанимателя на вселение в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма других граждан в качестве членов своей семьи
1. Наниматель с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, вправе вселить в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма своего супруга, своих детей и родителей или с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, и наймодателя - других граждан в качестве проживающих совместно с ним членов своей семьи. Наймодатель может запретить вселение граждан в качестве проживающих совместно с нанимателем членов его семьи в случае, если после их вселения общая площадь соответствующего жилого помещения на одного члена семьи составит менее учетной нормы. На вселение к родителям их несовершеннолетних детей не требуется согласие остальных членов семьи нанимателя и согласие наймодателя.
2. Вселение в жилое помещение граждан в качестве членов семьи нанимателя влечет за собой изменение соответствующего договора социального найма жилого помещения в части необходимости указания в данном договоре нового члена семьи нанимателя.

Статья 80. Временные жильцы
1. Наниматель жилого помещения по договору социального найма и проживающие совместно с ним члены его семьи по взаимному согласию и с предварительным уведомлением наймодателя вправе разрешить безвозмездное проживание в занимаемом ими жилом помещении по договору социального найма другим гражданам в качестве временно проживающих (временным жильцам) . Наймодатель вправе запретить проживание временных жильцов в случае, если после их вселения общая площадь соответств