Можно ли купить билет в Гамбург по российскому паспорту?

Загран нужен и шенген

Нет, по какому паспорту поедете, по такому и билет покупают.

Теоретически можно и без паспорта вообще. От авиакомпании зависит.
Но на регистрации надо, чтобы а) не различалось особо написание имени в паспорте и бронировании, б) предъявит банковскую карту, которой оплачивался билет.
ЕМНИП, так у меня было с «Роял Джорданиан» и с «Монтенегро Эйрлайнз».

Практически до сих пор на сайте Люфтганзы можно приобрести.... и без паспорта
Средствами идентификации при регистрации на рейс можно указать одно из:
-Ваша кредитная карта, использованная для оплаты
-Ваша карта Miles & More
-Ваш заграничный паспорт
-Ваша пассажирская квитанция (включает номер билета и номер заказа)
Однако без загранпаспорта в который вклеена виза никуда помимо некоторых стран СНГ улететь невозможно даже при наличии билета на собственное имя с ошибками транслитерации при заполнении формы покупки на сайте
P.S. Очень у многих транслитерация банковских карт и загранпаспортов не совпадает и это не мешает совершать покупки

Нет

Нет, конечно. Внутрироссийский паспорт действует только на территории ТС, а вне Таможенного Союза нужен заграпаспорт. И в авиабилеты на международные рейсы вносятся его данные, а не данные внутрироссийского паспорта.