Набиева Асмоа - склоняется ли имя? Если да, то как оно будет звучать в родительном падеже?

Асмоа, Алуа, Сауле – подобного типа женские имена не склоняются. А имя Асмоа может носить и мужчина, и в этом случае оно тоже не склоняется. Не склоняется и фамилия Асмоа (такая тоже существует).

Известно, что не склоняются иноязычные имена существительные, в том числе и собственные, с конечными гласными:
✔ Е: кашне, Сауле, Душамбе;
✔ И: такси, Нани, Кутаиси;
✔ О: пальто, Сосо, Онтарио;
✔ У: кенгуру, Бату, Бану, Баку;
✔ Э: алоэ, каноэ;
✔ Ю: меню, Дрю, Камю;
✔ с конечной ударной А: амплуа, боа.

А вот иноязычные имена собственные с конечной ударной и безударной А не склоняются не все.

К несклоняемым иноязычным именам и фамилиям с конечными А относятся:
✔ французские: Дюма, Дега, Люка, Петипа;
✔ все иноязычные, и французские тоже, кончающиеся на букву А, которой предшествуют другие гласные, чаще всего И и У: Моруа, Делакруа, Моравиа, Гулиа, Алуа.

Так что и имя, и фамилия Асмоа не склоняется, потому что:
✔ является иноязычным (иноязычной);
✔ заканчивается буквой А, которой предшествует другая гласная.

Набиеву Асмоа – это винительный, а не родительный падеж. В родительном падеже – Набиевой Асмоа: тетради и учебники Набиевой Асмоа.

И. есть Набиева Асмоа
Р. нет Набиевой Асмоа
Д. отправил Набиевой Асмоа
В. вижу Набиеву Асмоа
Т. доволен Набиевой Асмоа
П. говорю о Набиевой Асмоа

В родительном, дательном, творительном и предложном падежах фамилия звучит одинаково, так как фамилии с суффиксами -ОВ- (-ЕВ-), -ЫН- (-ЫН-) склоняются как прилагательные, а все прилагательные в форме женского рода имеют одинаковые окончания (-ОЙ) в этих четырёх падежах.