Какой синтаксис в операции среза массива на C#? В питон [index_1:index_2].

В C# на сколько знаю такого нет.

Используйте Array.Copy
н-р

int[] a = {0,1,2,3,4};
int[] b = new int[2];
//Откуда, индекс откуда, куда, индекс куда, сколько
Array.Copy(a, 1, b, 0, 2);

=> int[] b = {1,2};

В принципе можно Linq но не уверен что будет лучше - тут надо смотреть какой код сгенерируется.
using System.Linq;
....
int[] a = {0,1,2,3,4};
int[] b = a.Skip(1).Take(3).ToArray();

=> int[] b = {1,2,3};
Skip и Take возвращают Enumerable соотв. без необходимости преобразовывать в массив не надо.