Не могу решить: ((
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости SCD.
Нам нужно найти расстояние от точки К до плоскости SCD.
Пусть точка L - середина ребра AS. Поскольку пирамида правильная, то расстояние от L до плоскости SCD также равно искомой величине.
А значит, прямая KL параллельна плоскости SCD, и от любой её точки (включая точку K) до этой плоскости расстояние одинаково.
Пусть SN - высота треугольника SDC, а SM - высота треугольника SAB.
Поскольку все ребра пирамиды равны, то эти треугольники правильные, и их высоты равны
SN = SM = sqrt(3)/2
Точка P является серединой отрезков SM и LK.
Искомое расстояние будет равно длине перпендикуляра PQ, опущенного из P к SN.
Из равнобедренного треугольника SNM по теореме Пифагора находим угол NSM, который будет равен 2arcsin(1/sqrt(3)).
Из прямоугольного треугольника SPQ, зная, что его гипотенуза SP равна половине SM, т. е. sqrt(3)/4, находим:
PQ = SP*sin(NSM) = (sqrt(3)/4)*sin(2*arcsin(1/sqrt(3))) =
= sqrt(3)/4*1/sqrt(3)*sqrt(1-(1/sqrt(3))^2) =
= sqrt(3)/4*1/sqrt(3)*sqrt(2)/sqrt(3) =
= sqrt(2)/2/sqrt(3) = 1/sqrt(6)
Ответ: 1/sqrt(6)
(один на корень из шести)