Что дети должны знать в области математики к 3 годам?

Ничего.

нехера

Высшую математику полностью

уже должен логарифмы решать

Понятия "много" и "один" Больше-меньше, большой маленький. http://www.detskiysad.ru/ucheba.html здесь посмотрите в разделе Обучение математике во второй младшей группе детского сада.

Математика (3 года):
Считать до 3 и показывать соответствующее количество пальчиков на руке.
Владеть понятиями: один-много, большой-маленький, широкий-узкий, высокий-низкий, одинаковые-разные и т. д.
Знать основные цвета.
Знать основные геометрические фигуры.
Сравнивать предметы по величине, цвету и форме.
Сравнивать количество предметов.
Подбирать пару к предмету с заданным признаком.
Развитие речи, знаний о мире (3 года)
Знать название 3-4 предметов из каждой категории: деревья (например, елка, дуб, береза), цветы (например, ромашка, роза, колокольчик), ягоды (например, малина, клубника, черная смородина), игрушки (например, кукла, кубики, пирамидка, машинка) и т. д. Еще примеры категорий: одежда, обувь, головные уборы, мебель, транспорт, инструменты, музыкальные инструменты, животные (дикие и домашние), рыбы, птицы, грибы.
Знать названия основных действий (бегать, спать, кушать, играть и т. д.)
Иметь представление о материалах (бумага, дерево, железо, пластмасса, резина, стекло и т. д.), из которых изготовлены окружающие предметы.
Знать времена года (зима, весна, лето, осень), части суток (утро, день, вечер, ночь).
Уметь называть явления природы (дождь, снег, ветер, гром, молния, радуга).
Иметь представление об основных профессиях.
Мышление, память, внимание (3 года)
Находить лишний предмет из 3-4 предложенных на выбор и обосновывать свой выбор. Пример: кукла, пирамидка, плюшевый мишка, сапог. Сапог – лишний, т. к. это обувь, а все остальное - игрушки.
Находить и объяснять несоответствия на рисунках (т. н. картинки с ошибками).
Находить сходства и различия между предметами.
Находить парные предметы.
Запоминать 2-3 картинки (предмета); запоминать и повторять движения, показанные взрослым 1-2 раза.

понимать что есть один, что есть куча и что есть ничего

именно такими понятиями они оперируют когда "делят конфеты поровну"

cчёт

высшую математику

Считать до трех-достаточно. Но и понятия "много","мало" тоже пригодяться.
НУ РЕБЕНКУ ЖЕ ТОЛЬКО ТРИ ГОДА! ДРОБИ ТОЧНО ЕМУ НЕ НУЖНЫ!!!

от 0 до 5 счет (минимум ), большой маленький, много мало, толстый тонкий, широкий узкий, основные геометрические фигуры,

Во-первых, запомните основное правило педагогики, ребенок никому и ничего не ДОЛЖЕН. Он только может знать и уметь.
Во-вторых, где это все найти?
Покупать образовательную программу родителю - затратно. А вот скачать ее в интернете - доступно всем. Например: Примерную общеобразовательную программу дошкольного образования «От рождения до школы» (под ред. Н. Е. Вераксы, М. А. Васильевой, Т. С. Комаровой) 2014 г. или любую другую, по которой проводится обучение в группе (если ребенок ходит в садик)
В ней по каждому разделу (образовательной области) и по каждому возрасту ребенка (2-3г, 3-4г, 4-5 и тд) Вы сможете найти цели, задачи, содержание работы с детьми (математика, рисование, ознакомление с окружающим, лепка и т. д.) и целевые ориентиры (что может уметь и знать ребенок в определенном возрасте)