Помогите с задачей по ЕГЭ
Вчера на пробном экзамене попалась задача:
пенсионный фонд владеет ценными бумагами, цена которых к концу t года становится равной t^2 тыс. рублей ( т. е. к концу 1-го года они стоят 1 тыс., к концу 2-го - 4 тыс. рублей и т. д.). Так они лежат в фонде 30 лет. Однако есть возможность в конце произвольного года продать бумаги по их рыночной цене на момент конца этого года и положить эти деньги в банк под 20% годовых, т. е. к концу уже следующего за годом продажи года мы будем иметь на 20% большую сумму.
Спрашивают, в конце какого года нужно продать бумаги и положить деньги в банк, чтобы получилась к концу 30-го года максимальная сумма.
Кто может объяснить решение данной задачи? До этого момента с такими задачами не сталкивались...
Нужно построить функцию - зависимость суммы от числа лет t, в течение которых сумма (ценные бумаги) находятся в Пенсионном фонде (ПФ).
Если сумма находится в ПФ t лет, то она увеличивается до t^2 (тыс. руб).
Далее она перекладывается в банк под 20%, то есть каждый год увеличивается в 1,2 раза, в банке находится 30-t лет.
Получаем, что сумма f(t) = t^2*1,2^(30-t) (тыс. руб).
Нужно найти такое целое t от 1 до 30, при котором f(t) максимальна.
Если можно использовать производные, то находим производную этой функции,
определяем, когда она обращается в нуль.
Производная
f'(t) = 2*t*1,2^(30-t) + t^2*1,2^(30-t)*(-ln(1,2)) = t*1,2^(30-t)*(2 - t*ln(1,2)) = 0.
t = 2/ln(1,2) = 2/0,1823 = 10,97.
Это максимум, так как при t < 2/ln(1,2) производная строго положительна, функция f(t) строго возрастает, при t > 2/ln(1,2) производная строго отрицательна, функция
строго убывает.
Так как нужно найти целое t, сравниваем f(10) и f(11).
f(10)/f(11) = 10^2*(1,2)^20/(11^2*(1,2)^19)) = (10^2/11^2)*1,2 = (100/121)*1,2 = 120/121 < 1.
Значит максимум достигается при t = 11.