Почему азот и кислород в воздухе не разделяются на слои, и мы дышим их смесью? Ведь кислород тяжелее азота.

Это связанно с тепловым движением молекул и взаимодействием между ними. Можно считать (хотя это некорректно), что воздух это раствор "кислорода в азоте".