может ли синус равняться пи*i

Может. Притом таких z счётное множество.
sin z=pi*i,
Пусть w=e^(iz),
тогда iz=Ln w, z= -i*Ln w= -i*ln|w|+arg w+2pi*n, n=...-2,-1,0,1,2,...
Уравнение будет:
(w-1/w)/(2i)=pi*i, или w-1/w=-2pi, w^2+2pi*w-1=0,
Корни:
w1=-pi+sqrt(pi^2+1), w2=-pi-sqrt(pi^1+1).

Отсюда две бесконечные серии корней: :
z1= -i*Ln w1= -i*ln(-pi+sqrt(pi^2+1))+2pi*n,
z2= -i*Ln w2= -i*ln(sqrt(pi^2+1)+pi)+pi+2pi*n

Аналогично и уравнение sin z=pi, и sin z=5