Свойства логарифмических неравенств Какие свойства необходимо применять при решении логарифмических неравенств?

Главное свойство - свойство монотонности логарифмической функции.

Пусть дана функция log(a)x. Тогда эта функция:

Возрастает, если a > 1
Убывает, если 0 < a < 1

Монотонность имеет место на всей области определения логарифмической функции (иначе ОДЗ - область допустимых значений), т. е. от 0 до бесконечности.

Это свойство позволяет решать простейшие логарифмические неравенства.

Пусть, к примеру, дано неравенство

log(a)x > b.

Если a > 1, то большему х соответствует больший логарифм, поэтому от этого неравенства можно перейти к неравенству x > a^b. Все решения этого неравенства входят в область определения логарифмической функции и потому являются решениями исходного простейшего неравенства.

Если же 0 < a < 1, то большему х соответствует меньший логарифм. Поэтому следствием неравенства является x < a^b. Поскольку логарифм ограничен своей областью определения, то равносильность самого неравенства и его следствия имеет место только на ОДЗ логарифмической функции. Поэтому решением исходного неравенства будет промежуток 0 < x < a^b

В случае с неравенством log(a) < b ход решения такой же. Если a > 1, то при потенцировании оставляется знак < неравенства (с учётом ОДЗ логарифмической функции), а если 0 < a < 1, меняется на знак >, на этот раз, без учёта ОДЗ, поскольку всё решение неравенства-следствия входит в ОДЗ.

Большинство логарифмических неравенств сводятся к простейшим. При этом решение этих более сложных логарифмических неравенств в той части, где они сводятся к простейшим, относится уже к другим темам (например, квадратные неравенства).

Пусть к примеру дано неравенство (log(1/2)x)^2 - log(1/2)x - 6 < 0

Методом замены переменной log(1/2)x = t приходим к квадратному неравенству, решением которого является промежуток -2 < t < 3.

Поэтому исходное логарифмическое неравенство сводится к системе двух простейших:

log(1/2)x > -2
log(1/2)x < 3

Поскольку основание логарифма 1/2 меньше 1, то в обоих случаях знак неравенства меняется на обратный, а там, где он меняется на знак <, нужно учитывать ОДЗ логарифмической функции.

Поэтому решением первого неравенства системы будет,

0 < x < 4

а решением второго:

x > 1/8.

Решением всей системы, а значит и исходного неравенства будет

1/8 < x < 4