РАССКАЖИТЕ НЕМНОГО О ГРАВИТАЦИОННОМ РАДИУСЕ!

это единственное в силу теоремы Биркхофа сферически симметричное точное решение уравнений Эйнштейна без космологической константы в пустом пространстве. В частности, эта метрика достаточно точно описывает гравитационное поле уединённой невращающейся и незаряженной чёрной дыры и гравитационное поле снаружи от уединённого сферически симметричного массивного тела. Названа в честь Карла Шварцшильда, который первым её обнаружил в 1916 году.

Это решение необходимо является статическим, так что сферические гравитационные волны оказываются невозможными.

На первый взгляд, метрика содержит две особенности: при r = 0 {\displaystyle r=0} r=0 и при r = r s {\displaystyle r=r_{s}} r=r_{s}. Действительно, в Шварцшильдовских координатах частице, падающей на тело, потребуется бесконечно большое время t {\displaystyle t} t для достижения поверхности r = r s {\displaystyle r=r_{s}} r=r_{s}, однако переход, например, к координатам Леметра в сопутствующей системе отсчёта показывает, что с точки зрения падающего наблюдателя никакой особенности пространства-времени на данной поверхности нет, причём как сама поверхность, так и область r ≈ 0 {\displaystyle r\approx 0} r\approx 0 будут достигнуты за конечное собственное время.

Реальная особенность метрики Шварцшильда наблюдается лишь при r → 0 {\displaystyle r\to 0} r\to 0, где стремятся к бесконечности скалярные инварианты тензора кривизны. Эта особенность (сингулярность) не может быть устранена сменой системы координат.

Можно попытаться ввести координаты, не дающие сингулярности при r = r s {\displaystyle r=r_{s}} r=r_{s}. Таких координатных систем известно множество, и самой часто встречающейся из них является система координат Крускала, которая покрывает одной картой всё максимально продолженное многообразие, удовлетворяющее вакуумным уравнениям Эйнштейна (без космологической постоянной). Это большее пространство-время M ~ {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}} {\tilde {\mathcal {M}}} называется обычно (максимально продолженным) пространством Шварцшильда или (реже) пространством Крускала (Диаграмма Крускала — Секереша). Метрика в координатах Крускала имеет вид
d s 2 = − F ( u, v ) 2 d u d v + r 2 ( u, v ) ( d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d φ 2 ) , ( 2 ) {\displaystyle ds^{2}=-F(u,v)^{2}\,du\,dv+r^{2}(u,v)(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}),\qquad \qquad (2)} ds^{2}=-F(u,v)^{2}\,du\,dv+r^{2}(u,v)(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}),\qquad \qquad (2)

где F = 4 r s 3 r e − r / r s {\displaystyle F={\frac {4r_{s}^{3}}{r}}e^{-r/r_{s}}} {\displaystyle F={\frac {4r_{s}^{3}}{r}}e^{-r/r_{s}}}, а функция r ( u, v ) {\displaystyle r(u,v)} {\displaystyle r(u,v)} определяется (неявно) уравнением ( 1 − r / r s ) e r / r s = u v {\displaystyle (1-r/r_{s})e^{r/r_{s}}=uv} {\displaystyle (1-r/r_{s})e^{r/r_{s}}=uv}.
Рис. 1. Сечение θ = c o n s t , φ = c o n s t {\displaystyle \theta =\mathrm {const} ,\ \varphi =\mathrm {const} } {\displaystyle \theta =\mathrm {const} ,\ \varphi =\mathrm {const} } пространства Шварцшильда. Каждой точке на рисунке соответствует сфера площадью 4 π r 2 ( u, v ) {\displaystyle 4\pi r^{2}(u,v)} {\displaystyle 4\pi r^{2}(u,v)}. Светоподобные геодезические (то есть мировые линии фотонов) — это прямые под углом 45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }} 45^{\circ } к вертикали, иначе говоря — это прямые u = c o n s t {\displaystyle u=\mathrm {const} } {\displaystyle u=\mathrm {const} } или v = c o n s t {\displaystyle v=\mathrm {const} } {\displaystyle v=\mathrm {const} }