В одном учебном пособии по физике выводится зависимость среднего расстояния s, на которое удаляется газовая молекула...
...от своего первоначального положения при диффузионном движении, от числа столкновений N с другими молекулами:
"Для упрощения вывода будем считать, что движение молекулы происходит в плоскости хОу... Пусть в начальный момент времени молекула находится в точке О. Поле достаточно большого числа столкновений она окажется в некоторой точке М с координатами х, у. Модуль вектора перемещения s, являющегося суммой векторов s1, s2,...sN, будет определяться выражением s^2= x^2+y^2, s= √(x^2+y^2).
Очевидно, что координаты молекулы х и у могут быть найдены путём сложения соответствующих изменений её координат Δх и Δу при каждом столкновении. Согласно сказанному значения координат молекулы определяются выражениями
х= Δх1+Δх2+...+ΔхN, у= Δу1+Δу2+...+ΔуN, откуда
s= √(x^2+y^2)= √(Δx1^2+Δx2^2+...+ΔxN^2+2Δx1Δx2+...+Δy1^2+Δy2^2+...+ΔyN^2+2Δy1Δy2+...)=
= √((Δx1^2+Δy1^2)+...+(ΔxN^2+ΔyN^2)+2Δx1Δx2+...+2Δy1Δy2+...).
Так как движение молекулы хаотично, то изменения её координат происходят с одинаковой вероятностью как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения. СЛЕДОВАТЕЛЬНО, В ПОДКОРЕННОМ ВЫРАЖЕНИИ СЛАГАЕМЫЕ, ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЕ СОБОЙ СМЕШАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТИПА 2ΔхiΔхk И 2ΔуiΔуk, ОДИНАКОВО ЧАСТО ВСТРЕЧАЮТСЯ СО ЗНАКАМИ "ПЛЮС" И "МИНУС" (подчёркнуто мной. Р. И.)... Поэтому при достаточно большом числе столкновений сумму указанных слагаемых с большой точностью можно считать равной нулю. Тогда получаем:
s= √(s1^2+s2^2+...+sN^2)= √(Nλ^2)= √(N)*λ. Здесь sj= √(xj^2+yj^2), λ - средняя длина свободного пробега молекулы".
ВОПРОС: Что можете сказать по поводу подчёркнутого утверждения?
Исправление: в 5-й строке пояснений сверху д. б. "После" (вместо "Поле").
Постараюсь объяснить, что подчёркнутое не является следствием предшествующего ему предложения.
Берём алгебраическую сумму, например: -а1+а2+а3-а4. (N= 4.) Тут у слагаемых по два "плюса" и "минуса". Возводим в квадрат: а1^2+а2^2+а3^2+а4^2-2а1а2-2а1а3+ +2а1а4+2а2а3-2а2а4-2а3а4. Как видим, положительных смешанных произведений на 2 меньше, чем отрицательных. Подобную картину увидим и при N= 6; 8; и т. д.: положительных будет всегда на N/2 меньше отрицательных. В этом ничего удивительного нет: ведь незыблемо положительные слагаемые а1^2+а2^2+...каким-то образом надо компенсировать... Таким образом, приведенный вывод оказывается неубедительным.
Правильный подход предусматривает рассмотрение всевозможных знаков у всех N слагаемых, по примеру:
а1+а2+а3+а4; -а1-а2+а3+а4;
а1+а2+а3-а4; -а1-а2+а3-а4;
а1+а2-а3+а4; -а1-а2-а3+а4;
а1+а2-а3-а4; -а1-а2-а3-а4.
....
Всего N^2= 16 вариантов. Возводя всё это в отдельности в квадрат, суммируя и деля на N^2= 16, получаем то, что пишется в книге: смешанные произведения действительно взаимно сокращаются и остаются только квадраты...
Окончание последует.
Этот вывод я встретил в 1982 году в учебном пособии "О. Ф. Кабардин и др. Факультативный курс физики. 9 класс. М., Просвещение. 1978 г." Своё описанное выше недоразумение написал первому автору книги - до того между нами состоялась "мини-переписка": я написал, он ответил. И всё. При этом я изложил свой вариант вывода, совпадающий с тем, что приводится в некоторых вузовских учебниках; очень красивый вывод, легко доступный школьникам, я встретил также в ж-ле "Квант". Ответа не получил. После этого то же самое я отправил и в издательство, и в ж-л "ФШ". Опять без ответа. Возможно, неурядица в выводе завуалирована так, что уловить её трудно. Или кто-то придерживался мнения: "Школьникам сойдёт и так". У меня взгляд на это несколько иное: "Школьникам сойдёт всё обоснованно упрощённое, но не ошибочное"... Так или иначе, в новое издание (1986 г.) книги всё было перенесено без изменения (сс. 23-25).
Как ни странно это не выглядит, ЛО решил дать стёртому самим автором ответу Тадасаны: и в нём, стёртом ответе (которое в общих чертах помню), и в его последующих комментах имеются ценные мысли.
.
Чета я не вижу тут ничего подчеркнутого. Только стандартное определение длины свободного пробега молекулы, из взятое из МКТ - ничего интересного...