Само выходит из аккаунт "Mail.ru", что делать?

Здесь отвечают простые пользователи проекта.

Если Вас часто выбрасывает на авторизацию,
попробуйте в настройках почты
https://e.mail.ru/settings/security
снять галочки с
"Сессия только с одного IP адреса"
"Запретить параллельные сессии"
и сохраните внесённые изменения.

Возможно блокиратор рекламы или какое-то расширение
в браузере тому причиной?
https://help.mail.ru/mail-help/faq/extensions
Попробуйте отключить и проверить.

Попробуйте почистить кэш браузера: https://help.mail.ru/mail-help/helpful/cache
и очистить cookies в браузере: https://help.mail.ru/mail-help/helpful/clean

Всё таки попробуйте зайти с другого браузера
или обновите версию своего браузера :
Opera http://www.opera.com/
Mozilla Firefox http://www.mozilla.org/ru/firefox/new/
Internet Explorer http://windows.microsoft.com/ru-ru/internet-explorer/download-ie
Google Chrome http://www.google.com/intl/ru/chrome/
https://help.mail.ru/mail-help/helpful/new_vers

Если советы выше не помогли, обращайтесь
с проблемой в службу поддержки Почта@Mail.Ru
напрямую на этот адрес:
mailsupport@corp.mail.ru
(в заголовке письма укажите тему проблемы)
Ответ от службы поддержки приходит обычно в течении 5 рабочих дней.