Связывается ли Отдел кадров (HR) с предыдущем работодателем при приеме на работу?

Если не шарашкина контора то могут вполне.

Может, если подбирают персонал с умом.

В теории такая возможность, естественно, существует. Особенно, если готовых рекомендаций или характеристик человек не предоставил. Но будет ли это делать конкретный работник отдела персонала конкретной компании, и хватит ли ему профессионализма при звонке не выдать цели своих вопросов и не сообщить нынешнему работодателю, что Вы приходили на собеседование, это только в разделе "Гадание" скажут.

Звонят и часто и нам звонят и мы тоже иногда звоним, телефоны все есть в интернете.

Я за 20 лет работы ни разу этого не делала. Руководство не ставило такую задачу. Самой же приходилось отвечать на вопросы о бывших сотрудниках.

... Не исключено...

У многих людей есть резюме на сайтах и в них указано, что по настоящее время они работают. Думаю в этом нет ничего криминального.

Да, еще как могут связаться. Сама всегда боюсь, когда бегаю по собеседованиям. Поэтому мой вам совет не пишите номера телефонов бывших начальников.

если у вас будет какая-то секретность, то да или увидят много переходов. Другое дело, если там откуда вы уйдете может быть доброжелатель и захочет испортить резюме. Поэтому никогда не говорите, что и куда собираетесь уходить