Трое на координатной плоскости, не считая L(М). Задача о минимизации суммы расстояний.
Дано:
1) Координатная плоскость XOY;
2) точки А (2; -3), Б (3; 6), С (4; -1);
3) точка м с неизвестными координатами (х; у);
4) L(М) = |МА|+|МБ|+|МС|.
Задание:
1) Найти такие координаты М (х; у), при которых L(М) достигает своего минимума.
Мои соображения:
1) Вычислить длины сторон треугольника {|АБ| = корень (82), |БС| = корень (50), |АС| = корень (8)};
2) Определить 2 кратчайшие стороны треугольника АБС и вычислить сумму их длин {|БС|+|АС| = 7*корень (2)}
3) Допустить, что М=С, тогда (х; у) = (4; -1). Очевидно, что |МС| = 0, значит, L(М) = |БС|+|АС| = 7*корень (2). Очевидно, что |БС|+|АС| меньше суммы любых других пар сторон.
Мой вопрос:
1) Можно ли утверждать, что М должна совпадать с одной из вершин треугольника АБС (и утверждать, что определять, с какой именно, нужно согласно логике пункта 2 моего решения)? Как доказать или опровергнуть это утверждение?
2) Если нельзя, интересует алгоритм решения задачи. Вроде бы она достаточно жизненная и должна иметь широкое применение в какой-нибудь логистике, но образца решения хотя бы чего-то похожего я не нашел.
П. С. Задача взята из учебника Лунгу "Линейное программирование", 2005 (легко гуглится). Страница 13, упражнение 1.11.
Минимальная сумма расстояний до вершин треугольника будет для точки, из которой каждая сторона треугольника видна под углом в 120°, если ни один из углов треугольника не больше 120° (точка Ферма), и для вершины тупого угла, если он больше 120°.
Здесь можно использовать достаточно простой, но не очень школьный матан - сумма градиентов расстояний до вершин (с обратным знаком) - это сумма единичных векторов, направленных из рассматриваемой точки к вершинам, что, как бы, сразу делает ответ Дивергента очевидным.
И, кстати, сумма расстояний от точки A до вершин - строго выпуклая функция от A, у которой с гладкостью хреновато только в трех точках.
А в Лунге, наверное, задачку просили каким-то численным методом решить - типа градиентного спуска, но чтоб не обкакаться в точке, где сумма расстояний не является гладкой?