Для чего вводят сопряжённое пространство (взаимный базис) + дельта Кронекера. Линейная алгебра. Помогите понять.
Есть основное заданное векторное пространство V, на котором мы можем определить базисы (системы координат).
Но зачем вводят ещё дополнительный дуальный (взаимный) базис, определённый на сопряжённом пространстве V*? Я читал из многих разных источников (книги, интернет-сайты) и везде по-разному пишут. К тому же везде эти индексы и обозначения абсолютно разные - ещё сильнее путаешься...
вот взять символ Кронекера, который как раз-таки используют для введения дуального базиса. В Википедии, в книгах - везде всё различается сильно :)
(см. Фото).
Контраваринтные и ковариантные векторы из той же оперы: не могу понять смысл введения двух разных типов векторов, один из которых (ковариантный) определён на дуальном базисе.
Короче, мне нужно знать тензоры, а застрял на таких простых, но на мой взгляд существенных вещах, без которых дальше не продвинуться...
никак врубиться не могу.
Объясните плз, во-первых, для чего вводят сопряжённое пр-во и почему нам недостаточно одного заданного;
во-вторых, если на основном пространстве заданы ei, xi, f (i - индексы, e - базисный вектор, х - координата, f - линейная функция), то как аналогичные вещи будут представлены на сопряжённом пространстве?
И в третьих, в чём смысл этой чёртовой дельты Кронекера:) ?
Везде всё по-разному, мозг себе сломал уже:)
Вы же не биологию изучаете, а математику.
Просто ПРИМИТЕ эти знания, что эти объекты существуют в теории. Разберите подробно их свойства и операции с ними.
Алгебра - это ведь мат аппарат, который потом используется для исследования различных физических процессов.
например, ковариантные и контравариантные тензоры применяются в теории оболочек.
И, конечно, лучше учиться по классическим учебникам.
У вас некоторая путаница.
Дуальный базис в тензорном исчислении - это одно. Он нужен, как минимум, для корректного введения инвариантов, в первую очередь, скалярного произведения (ну и нормы).
Сопряженное пространство в линейной теории - это нечто другое. Полезно, например, для введения обобщенных функций.
Быть может, вам чем-то помогут мои популярные очерки, которые вы найдете на моей страничке:
expert-eater.nethouse.ru/page/828166
Пока у нас есть только одно линейное пространство, во введении сопряжённого пространства действительно мало смысла (замечу, что если уж мы ввели сопряжённое пространство, мы не можем использовать в нём базис исходного пространства, т. к. это разные множества, хотя и математически неотличимые).
Интересности начинаются в римановых многообразиях, где скалярное произведение касательных векторов определяется изначально заданной метрикой, которая может меняться от точки к точке. Чтобы скалярное произведение в том виде, к которому мы привыкли, не зависело от выбора системы координат на многообразии, приходится вводить пространство, сопряжённое к касательному, и базис в нём преобразуется при изменении системы координат не так, как в самом касательном пространстве. Ковариантные и контравариантные индексы начинают различаться (для удобства их пишут на разных высотах). Переход между ковариантными и контравариантными векторами делается с помощью метрики. Символ Кронекера совпадает с метрическим тензором, у которого один ковариантный индекс и один контравариантный (соответственно, в таком виде метрический тензор не даёт информации о метрике, т. к. определение символа Кронекера везде одно и то же).
По поводу "во-вторых": линейная функция на основном пространстве - это элемент сопряжённого пространства. Любую линейную функцию можно представить в виде скалярного произведения с фиксированным вектором (ковариантным).
1. Сопряжённое пр-во вводят, чтобы доказать: пр-во линейных функционалов изоморфно исходному пр-ву.
2. Таких изоморфизмов много, и аналогичные вещи в сопряжённом пространстве будут представлены по-разному для разных изоморфизмов. Выбор одного из них означает выбор скалярного произведения (билинейной функции) на исходном пр-ве. Эта функция – тензор 2-го ранга, ковариантный по одному индексу и контравариантный по другому.
3. У дельты Кронекера тот же смысл, что у равенства, ничего более.
expert-eater.nethouse.ru/page/828166.
весьма хорошая подборка, познакомился с удовольствием.