Для чего вводят сопряжённое пространство (взаимный базис) + дельта Кронекера. Линейная алгебра. Помогите понять.

могу сказать только одно: если хотите разобраться в вопросах продвинутой математики - не суйтесь в вики. Там бывает подано максимально усложнённо и несистемно. Попробуйте найти учебник по линейной алгебре для программистов, а не математиков

Пока у нас есть только одно линейное пространство, во введении сопряжённого пространства действительно мало смысла (замечу, что если уж мы ввели сопряжённое пространство, мы не можем использовать в нём базис исходного пространства, т. к. это разные множества, хотя и математически неотличимые).
Интересности начинаются в римановых многообразиях, где скалярное произведение касательных векторов определяется изначально заданной метрикой, которая может меняться от точки к точке. Чтобы скалярное произведение в том виде, к которому мы привыкли, не зависело от выбора системы координат на многообразии, приходится вводить пространство, сопряжённое к касательному, и базис в нём преобразуется при изменении системы координат не так, как в самом касательном пространстве. Ковариантные и контравариантные индексы начинают различаться (для удобства их пишут на разных высотах). Переход между ковариантными и контравариантными векторами делается с помощью метрики. Символ Кронекера совпадает с метрическим тензором, у которого один ковариантный индекс и один контравариантный (соответственно, в таком виде метрический тензор не даёт информации о метрике, т. к. определение символа Кронекера везде одно и то же).
По поводу "во-вторых": линейная функция на основном пространстве - это элемент сопряжённого пространства. Любую линейную функцию можно представить в виде скалярного произведения с фиксированным вектором (ковариантным).

Какой ужас

Дуальный базис требуется не в нашем мире, а около Чёрных Дыр. Там, где пространство-время сильно искривлено Гравитацией.

У вас некоторая путаница.
Дуальный базис в тензорном исчислении - это одно. Он нужен, как минимум, для корректного введения инвариантов, в первую очередь, скалярного произведения (ну и нормы).
Сопряженное пространство в линейной теории - это нечто другое. Полезно, например, для введения обобщенных функций.
Быть может, вам чем-то помогут мои популярные очерки, которые вы найдете на моей страничке:
expert-eater.nethouse.ru/page/828166

Тут не ответить. Читайте у: Ландау, Лифшиц "Курс теор. физики", т. 2 "Теория поля"

1. Сопряжённое пр-во вводят, чтобы доказать: пр-во линейных функционалов изоморфно исходному пр-ву.
2. Таких изоморфизмов много, и аналогичные вещи в сопряжённом пространстве будут представлены по-разному для разных изоморфизмов. Выбор одного из них означает выбор скалярного произведения (билинейной функции) на исходном пр-ве. Эта функция – тензор 2-го ранга, ковариантный по одному индексу и контравариантный по другому.
3. У дельты Кронекера тот же смысл, что у равенства, ничего более.

Пока у нас есть только одно линейное пространство, во введении сопряжённого пространства действительно мало смысла (замечу, что если уж мы ввели сопряжённое пространство, мы не можем использовать в нём базис исходного пространства, т. к. это разные множества, хотя и математически неотличимые).
Интересности начинаются в римановых многообразиях, где скалярное произведение касательных векторов определяется изначально заданной метрикой, которая может меняться от точки к точке. Чтобы скалярное произведение в том виде, к которому мы привыкли, не зависело от выбора системы координат на многообразии, приходится вводить пространство, сопряжённое к касательному, и базис в нём преобразуется при изменении системы координат не так, как в самом касательном пространстве. Ковариантные и контравариантные индексы начинают различаться (для удобства их пишут на разных высотах). Переход между ковариантными и контравариантными векторами делается с помощью метрики. Символ Кронекера совпадает с метрическим тензором, у которого один ковариантный индекс и один контравариантный (соответственно, в таком виде метрический тензор не даёт информации о метрике, т. к. определение символа Кронекера везде одно и то же).
По поводу "во-вторых": линейная функция на основном пространстве - это элемент сопряжённого пространства. Любую линейную функцию можно представить в виде скалярного произведения с фиксированным вектором (ковариантным).

expert-eater.nethouse.ru/page/828166.
весьма хорошая подборка, познакомился с удовольствием.