Может ли БЫТЬ республика парламенской БЕЗ премьер-министра?

Премьера как угодно могут обозвать Но глава должен быть.

А это зависит от того что там в Конституции написано. Парламентская республика значит основную правящую функцию выполняет парламент, а исполнительную может и президент выполнять.

Функции Парламента (Думы, Конгресса, Палаты Общин и т. п.) и функции министерств различны.
Первые являются законодателями, а вторые - исполнителями.
Во главе первых избирается Председатель (Спикер, Глава и т. п.), во главе вторых назначается или избирается Премьер-министр (Председатель Совета министров).

может порламентская манархия