Как без калькулятора посчитать чему равен log 7 по основанию 5?

Question

Как без калькулятора посчитать чему равен log 7 по основанию 5?

Кирилл Кудряшов Мастер (2431), закрыт 6 лет назад

Answer 1

например, так, как много веков назад считали таблицы логарифмов, еще до матанализа:

5^1 < 7 < 5^2

считаем корень из 5, узнаем 5^0.5 = 2.24, считаем 5^1.5=11
5^1 < 7 < 5^1.5

считаем корень из 5^0.5, получаем 5^0.25, дальше - 5^1.25=7.47
5^1 < 7 < 5^1.25

считаем корень из 5^0.25, получаем 5^0.125, дальше - 5^1.125=6.11
5^1.125 < 7 < 5^1.25

и так далее, с каждым шагом сужая рамки вдвое, пока не получим нужную точность.

да, корни считаются методом Ньютона, только арифметика, сходится быстро.

Answer 2

Необходимо уточнение: имеется в виду "инженерный калькулятор", содержащий разные элементарные функции, в т. ч. логарифмические. А то никто, считаю, что и сам автор, арифметические действия с многозначными числами не станет произвести вручную.
Прежде всего скажем, что lg[5]7= lg7/lg5= ln7/ln5 - данное преобразование можно встретить во многих учебниках. Пользуясь разложением в ряд Маклорена одной из логарифмических функций, а именно ln((1+x)/(1-x)) (некоторые источники утверждают, что при этой функции ряд сходится наиболее быстро), в котором берём 3 первых члена, получаем 1,185. Действительное же значение искомой величины равно 1,209. Погрешность составляет примерно 2%. Если устраивает - пожалуйста.
Но у меня есть свой способ: выучил наизусть значения десятичных логарифмов 4-х чисел: lg2= 0,30103; lg3= 0,47712; lg7= 0,84510 и lg11= 1,04139. Значит, достаточно рассчитать 0,84510/(1-0,30103)= 1,209.

Answer 3

Варианта у Вас два:
1. Разложить функцию в ряд Маклорена и посчитать сумму первого десятка слагаемых.
2. Воспользоваться таблицей Брадиса или логарифмической линейкой.
В обоих случаях необходимо небольшое преобразование: в первом я бы привёл логарифм к основанию е (натуральный логарифм), а во втором - к десятичному логарифму.