Если заведующий отделом или ответственный за что-либо женщина, то в документах пишется заведующий или заведующая?

ий, или ая. Но можно и заменить. Например на зав. или ответственность за... возложить на...

Сейчас уже пишут заведующАЯ - даже в официальной документации

В официальной документации пишется мужской род, так как это официальное название должности. Неофициально пишите как угодно

-ИЙ Вот так правильно!